Cho x,y,z>0 và\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}.\)
TÌM MIN\(P=\sqrt{\frac{2x^2+y^2}{xy}}+....\)cứ lặp lại 3 lần
Nhanh Nhé cute (^-^)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HA
19 tháng 11 2015
gọi P là cái 1/x+1/y+1/z nha
1) (1/x+1/y+1/z)^2 = 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 2/(xy) + 2/(yz) + 2/(zx)
---> 3 = P + 2(x+y+z)/(xyz) = P + 2 ---> P = 1
31 tháng 7 2019
Ta có \(\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{xy}=\sqrt{\frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2}}\)
Áp dụng BĐT Buniacoxki ta có
\(\sqrt{\left(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2}\right)\left(1+2\right)}\ge\sqrt{\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x}\right)^2}=\frac{1}{y}+\frac{2}{x}\)
=> \(\sqrt{3}A\ge3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3\)
=> \(A\ge\sqrt{3}\)
\(MinA=\sqrt{3}\)khi x=y=z=3
HF
14 tháng 8 2020
\(P=\frac{\sqrt{1+x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{zx}\)
\(\ge\text{Σ}\frac{\sqrt{\frac{\left(1+x+y\right)^2}{3}}}{xy}\text{=}\frac{1+x+y}{xy\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1+x+y}{xy}+\frac{1+y+z}{yz}+\frac{1+z+x}{zx}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(x+y+z+2xy+2yz+2zx\right)\)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3\sqrt[3]{xyz}+2\cdot3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3+6\right)=3\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)
DQ
1
1 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2x^2+y^2\ge2\sqrt{2x^2.y^2}=2\sqrt{2}xy\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+y^2}\ge\sqrt{2\sqrt{2}xy}=\sqrt{2\sqrt{2}}\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{\sqrt{xy}}\ge\frac{\sqrt{2\sqrt{2}}.\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=\sqrt{2\sqrt{2}}=\)
Vậy minP=\(\sqrt{2\sqrt{2}}\) đạt được khi \(\sqrt{2}x=y\)
2 tháng 7 2017
1, A= y^3(1-y)^2 = 4/9 . y^3 . 9/4 (1-y)^2
= 4/9 .y.y.y . (3/2-3/2.y)^2
=4/9 .y.y.y (3/2-3/2.y)(3/2-3/2.y)
<= 4/9 (y+y+y+3/2-3/2.y+3/2-3/2.y)^5
=4/9 . 243/3125
=108/3125
Đến đó tự giải
26 tháng 8 2019
3, \(P=a+b+\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}\)
=\(\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\)
AD bđt cosi vs hai số dương có:
\(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\ge2\sqrt{\frac{1}{2a}.\frac{a}{2}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\ge2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{2}{b}}=2\)
Có \(\frac{a+b}{2}\ge\frac{3}{2}\) (vì a+b \(\ge3\))
=> \(P=\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\ge1+2+\frac{3}{2}\)
<=> P \(\ge4.5\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{2a}=\frac{a}{2}\\\frac{b}{2}=\frac{2}{b}\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1\\b^2=4\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)
=> a=2,b=3
Vậy minP=4.5 <=>a=1,b=2
TN
28 tháng 3 2017
Hi ~! Mình xin slot trước :)
Giải
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\) khi đó \(P=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của \(P\)
Ta có: \(x^2+xy+y^2=\frac{3\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2}{4}\ge\frac{3\left(x+y\right)^2}{4}\)
Do đó ta cần chứng minh
\(\frac{x+y}{4yz+1}+\frac{y+z}{4xz+1}+\frac{x+z}{4xy+1}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{\left(y+z\right)^2+1}+\frac{y+z}{\left(x+z\right)^2+1}+\frac{x+z}{\left(x+y\right)^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có: \(x+y+z=\frac{3}{2}\Rightarrow2x+2y+2z=3\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(x+z\right)=2\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=x+y\\b=y+z\\c=z+x\end{cases}}\) thì ta cần chứng minh
\(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge\frac{3}{2}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{cases}}\)
Lại có: \(\frac{a}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế các BĐT ta có: \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}+b-\frac{bc}{2}+c-\frac{ac}{2}\)
\(=\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
BĐT đã được c/m vậy ta có \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
15 tháng 8 2020
TỪ GT => \(3\le xy+yz+zx\)
=> \(P\ge\frac{x^3}{\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}+\frac{y^3}{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}}+\frac{z^3}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}}\)
=> \(P\ge\frac{x^3}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\frac{y^3}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}+\frac{z^3}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
TA ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 2 SỐ SẼ ĐƯỢC:
=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}.\sqrt{y+z}\le\frac{x+2y+z}{2}\\\sqrt{z+x}.\sqrt{z+y}\le\frac{x+y+2z}{2}\\\sqrt{x+y}.\sqrt{x+z}\le\frac{2x+y+z}{2}\end{cases}}\)
=> \(P\ge\frac{2x^3}{x+2y+z}+\frac{2y^3}{x+y+2z}+\frac{2z^3}{2x+y+z}\)
=> \(P\ge\frac{2x^4}{x^2+2xy+2xz}+\frac{2y^4}{xy+y^2+2yz}+\frac{2z^4}{2xz+yz+z^2}\)
TA TIẾP TỤC ÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ SẼ ĐƯỢC:
=> \(P\ge\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
TA CÓ 1 BĐT SAU: \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\) (*)
=> \(P\ge\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
=> \(P\ge\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{4\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)
TA LẠI 1 LẦN NỮA SỬ DỤNG BĐT (*) SẼ ĐƯỢC:
=> \(P\ge\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3}{2}\left(gt\right)\)
DẤU "=" XẢY RA <=> \(x=y=z\)
VẬY P MIN \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
TT
15 tháng 8 2020
Ta có :
\(P\ge\frac{x^3}{\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}+\frac{y^3}{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}}+\frac{z^3}{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}}\)
\(=\frac{x^3}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\frac{y^3}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}+\frac{z^3}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\ge\frac{2x^3}{x+2y+z}+\frac{2y^3}{x+y+2z}+\frac{2z^3}{2x+y+z}\)\(\ge2.\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+3.\left(xy+yz+zx\right)}\ge2.\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{4.\left(xy+yz+zx\right)}\ge2.\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)