\(f\left(x;y;z\right)=\frac{x}{y}+\sqrt{\frac{y}{z}}+\sqrt[3]{\frac{z}{x}}\)
Tìm GTNN của hàm số đã cho
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 12 2018
Câu 1/
\(f\left(13\right)=x^{13}\left(x-14\right)+14x^{12}-...-14x+14\)
\(=-x^{13}+14x^{12}-14x^{11}+...-14x+14\)
\(=x^{12}\left(-x+14\right)-14x^{11}+...-14x+14\)
\(=x^{12}-14x^{11}+...-14x+14=...\)
\(=-x+14=1\)
(Bạn để ý quy luật sau các bước rút gọn lần lượt thì mũ chẵn sẽ biến thành hệ số 1, mũ lẻ thành hệ số -1 nên x sẽ có hệ số -1)
Câu 2:
+) \(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\) có: \(f_3\left(x\right);f_4\left(x\right);f_6\left(x\right)\)
+) \(f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\) có: \(f_1\left(x\right);f_2\left(x\right);f_5\left(x\right)\)
+) \(f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\) có: \(f_1\left(x\right);f_2\left(x\right)\)
+) \(f\left(x_1x_2\right)=f\left(x_1\right).f\left(x_2\right)\) có: \(f_1\left(x\right);f_3\left(x\right);f_5\left(x\right);f_6\left(x\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 11 2021
Vẫn là đạo hàm của tích
Dễ dàng viết được:
\(\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\left[f\left(x\right)\right]'.f'\left(x\right)+f\left(x\right).\left[f'\left(x\right)\right]'=\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'\)
Do đó giả thiết biến đổi thành:
\(\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'=15x^4+12x\)
Nguyên hàm 2 vế:
\(f'\left(x\right).f\left(x\right)=\int\left(15x^4+12x\right)dx=3x^5+6x^2+C\)
Thay \(x=0\)
\(\Rightarrow f'\left(0\right).f\left(0\right)=C\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right).f\left(x\right)=3x^5+6x^2+1\)
Tiếp tục nguyên hàm 2 vế:
\(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=\int\left(3x^5+6x^2+1\right)dx\) với chú ý \(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=\int f\left(x\right).d\left[f\left(x\right)\right]=\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)+C\)
Nên:
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^6+2x^3+x+C\)
Thay \(x=0\Rightarrow C=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^6+2x^3+x+\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f^2\left(1\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 8 2021
Bài 1:
Cho $y=0$ thì: $f(x^3)=xf(x^2)$
Tương tự khi cho $x=0$
$\Rightarrow f(x^3-y^3)=xf(x^2)-yf(y^2)=f(x^3)-f(y^3)$
$\Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$
Cho $x=0$ thì $f(-y)=0-f(y)=-f(y)$
Cho $y\to -y$ thì: $f(x+y)=f(x)-f(-y)=f(x)--f(y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$
Đến đây ta có:
$f[(x+1)^3+(x-1)^3]=f(2x^3+6x)=f(2x^3)+f(6x)$
$=2f(x^3)+6f(x)=2xf(x^2)+6f(x)$
$f[(x+1)^3+(x-1)^3]=f[(x+1)^3-(1-x)^3]$
$=(x+1)f((x+1)^2)-(1-x)f((1-x)^2)$
$=(x+1)f(x^2+2x+1)+(x-1)f(x^2-2x+1)$
$=(x+1)[f(x^2)+2f(x)+f(1)]+(x-1)[f(x^2)-2f(x)+f(1)]$
$=2xf(x^2)+4f(x)+2xf(1)$
Do đó:
$2xf(x^2)+6f(x)=2xf(x^2)+4f(x)+2xf(1)$
$2f(x)=2xf(1)$
$f(x)=xf(1)=ax$ với $a=f(1)$
7 tháng 8 2021
\(f\left(x^5+y^5+y\right)=x^3f\left(x^2\right)+y^3f\left(y^2\right)+f\left(y\right)\)
Sửa lại đề câu 2 !!
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
12 tháng 9 2023
\(f\left( { - 3} \right) = - {\left( { - 3} \right)^2} + 1 = - 9 + 1 = - 8\);
\(f\left( { - 2} \right) = - {\left( { - 2} \right)^2} + 1 = - 4 + 1 = - 3\);
\(f\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^2} + 1 = - 1 + 1 = 0\);
\(f\left( 0 \right) = - {0^2} + 1 = 0 + 1 = 1\);
\(f\left( 1 \right) = - {1^2} + 1 = - 1 + 1 = 0\);
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
11 tháng 9 2023
\(f\left( { - 3} \right) = {\left( { - 3} \right)^2} + 4 = 9 + 4 = 13\);
\(f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^2} + 4 = 4 + 4 = 8\);
\(f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 4 = 1 + 4 = 5\);
\(f\left( 0 \right) = {0^2} + 4 = 0 + 4 = 4\);
\(f\left( 1 \right) = {1^2} + 4 = 1 + 4 = 5\).
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy Schwardz ta được:
\(f\left(x;y;z\right)=6.\frac{\frac{x}{y}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{x}{z}}}{6}\)\(\ge6.\sqrt[6]{\frac{x}{y}.\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}.\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}.\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}.\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}}\)
\(=6.\sqrt{\frac{1}{2.2.3.3.3}\frac{x}{y}\frac{y}{z}\frac{z}{x}}=2^{2/3}.3^{1/2}\)
Vậy GTNN của \(f\left(x;y;z\right)=2^{2/3}.3^{1/2}\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}\)