Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TA CÓ:
\(B=\frac{1}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{y\left(z+2x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\ge\frac{1}{\frac{x+y+2z}{2}}+\frac{1}{\frac{y+z+2x}{2}}+\frac{1}{\frac{z+x+2y}{2}}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)}=\frac{18}{3\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}\)
DẤU BẰNG XẢY RA:\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\frac{B}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3x\left(y+2z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3y\left(z+2x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3z\left(x+2y\right)}}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{3x+y+2z}{2}}+\frac{1}{\frac{3y+z+2x}{2}}+\frac{1}{\frac{3z+x+2y}{2}}\ge\frac{2\left(1+1+1\right)^2}{6\left(x+y+z\right)}=\frac{18}{6\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{18\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=3\)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3
MInA=3<=>x=y=z=1
b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)
\(1)\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt {4 - \sqrt {15} } } \right)\\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {150} - \sqrt {90} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \sqrt {10\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} + \sqrt {6\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\ = \sqrt {40 - 10\sqrt {15} } + \sqrt {24 - 6\sqrt {15} } \\ = \sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {15} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {15} } \right)}^2}} \\ = 5 - \sqrt {15} + \sqrt {15} - 3 = 2\)
2) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
\(\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{y + z}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}}.\dfrac{{y + z}}{4}} = x(1)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{{{y^2}}}{{z + x}} + \dfrac{{z + x}}{4} \ge y\left( 2 \right)\\ \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}} + \dfrac{{x + y}}{4} \ge z\left( 3 \right) \)
Từ (1), (2), (3) ta có ngay:\(\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\right)+ \left(\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\right)+\left( \dfrac{z^2}{x+y} +\dfrac{x+y}{4}\right)\geqslant x+y+z\\ \iff\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant \dfrac{x+y+z}{2} \)
Chú ý rằng \(x+y+z=2\), ta có ngay\(\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant 1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$, đạt được khi $x=y=z=\dfrac{2}{3}$.
Haizzz bị lỗi công thức suốt :((
Ta có: \(x^2\left(y+z\right)\ge x^2.2\sqrt{yz}=2\sqrt{x^4}.\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương y,z và sử dụng giả thiết xyz = 1)
Hoàn toàn tương tự: \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
Do đó \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
\(\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\), \(b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\), \(c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\)
Suy ra: \(x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9}\), \(y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9}\), \(z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
Do đó \(P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\)
\(\ge\frac{2}{9}\left[4.3\sqrt[3]{\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a}}+3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-6\right]\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương)
\(=\frac{2}{9}\left[4.3+3-6\right]=2\)
Vậy \(P\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy Schwardz ta được:
\(f\left(x;y;z\right)=6.\frac{\frac{x}{y}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{x}{z}}}{6}\)\(\ge6.\sqrt[6]{\frac{x}{y}.\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}.\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}.\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}.\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}}\)
\(=6.\sqrt{\frac{1}{2.2.3.3.3}\frac{x}{y}\frac{y}{z}\frac{z}{x}}=2^{2/3}.3^{1/2}\)
Vậy GTNN của \(f\left(x;y;z\right)=2^{2/3}.3^{1/2}\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}\)