Question

[oOo Min min oOo]

Cho tam giác ABC nhọn AB<AC kẻ đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB,AC tại D,E. Đường thẳng DE cắt BC tại S.

a) C/m: BDEC là tứ giác nội tiếp

b) C/m: SB.SC=SH²

c) Đường thẳng SO cắt AB,AC lần lượt tại M, N. Đường thẳng DE cắt HM, HN lần lượt tại P,Q. C/m: BP, CQ, AH đồng quy

mk chỉ cần câu c thôi, dùng Menelauyt nhé

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: \(AD\cdot AB=AH^2\)

AE*AC=AH^2

Do đó: AD*AB=AE*AC

=>AD/AC=AE/AB

=>ΔADE đồng dạng với ΔACB

=>góc ADE=góc ACB

=>góc BDE+góc C=180 độ

=>BDEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác ADHE có góc ADH+góc AEH=180 độ

nên ADHE là tứ giác nội tiếp

=>góc DEH=góc DAH=góc DHB

Xét ΔSDH và ΔSHE có

góc S chung

góc SHD=góc SEH

Do đó: ΔSDH đồng dạng với ΔSHE

=>SD/SH=SH/SE
hay SH^2=SD*SE

Xét ΔSDB và ΔSCE có

góc SDB=góc SCE

góc S chung

Do đó; ΔSDB đồng dạng với ΔSCE

=>SD/SC=SB/SE
=>SD*SE=SB*SC=SH^2

c: Kẻ ST là tiếp tuyến thứ hai tới (O). SO cắt (O) tại K,L

Vì SH,ST là hai tiếp tuyến nên SH=ST

=>SO là trung trực của HT

mà TH vuông góc với TA

nên SO//TA

=>STMD là tứ giác nội tiếp

=>góc TMN=góc TDE=180 độ-góc TAN

=>ATMN là tứ giác nội tiếp

mà TA//MN

nên ATMN là hình thang cân

CM tương tự, ta được ATKL là hình thang cân

=>ΔTMK=ΔANL

=>KM=LN

=>OM=ON

=>AMHN là hình bình hành

=>HN//AM

=> góc CHQ=góc ABC.

Vì BDEC là tứ giác nội tiếp nên góc CHQ=góc AED

=>Tứ giác HQEC nội tiếp=>góc HQC=góc HEC=90 độ=> CQ vuông góc HN và AM

CM tương tự, ta được BP là đường cao của ΔABC

=>BP,CQ,AH đồng quy