Chứng minh đẳng thức : Cho x+y+z=0. CMR : \(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3=0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
EG
1
4 tháng 8 2019
Ta có :
\(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3\)
\(=x^3+y^3+x^2z+y^2z-xyz\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z\left(x^2+y^2-xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=0\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=0\left(ĐPCM\right)\)
9 tháng 8 2018
Câu a : Ta có : \(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2z+y^2z-xyz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\) ( đpcm )
Câu b : \(VT=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-a^3-b^3-c^3\)
\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=VP\)
Câu c : Ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\) ( đúng )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 8 2021
\(\dfrac{x^3}{2y+1}+\dfrac{2y+1}{9}+\dfrac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3\left(2y+1\right)}{27\left(2y+1\right)}}=x\)
Tương tự: \(\dfrac{y^3}{2z+1}+\dfrac{2z+1}{9}+\dfrac{1}{3}\ge y\) ; \(\dfrac{z^3}{2x+1}+\dfrac{2x+1}{9}+\dfrac{1}{3}\ge z\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{2\left(x+y+z\right)+3}{9}+1\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{7}{9}\left(x+y+z\right)-\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{7}{9}.3\sqrt[3]{xyz}-\dfrac{4}{3}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 2 2021
Đề bài sai, phản ví dụ: \(x=y=\dfrac{1}{16};z=256\)
Nói chung, chỉ cần 2 biến đủ nhỏ là BĐT này đều sai
Lời giải:
Ta có:
\(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3=(x^3+y^3)+(x^2z+y^2z-xyz)\)
\(=(x+y)(x^2-xy+y^2)+z(x^2+y^2-xy)\)
\(=(x^2-xy+y^2)(x+y+z)=(x^2-xy+y^2).0=0\)
Ta có đpcm.