Question

[Nguyễn Thị Trúc Mai]

cho tam giác ABC. vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, BCE, CAF có các canh huyền lần lượt là AB, BC,CA. cmr các đường thẳng CD, BF, AE đồng quy

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, dựng \(\Delta\)BHC vuông cân tại H. Gọi giao điểm của AH và DF là I; HE giao BC tại G. Dựng điểm K đối xứng với F qua G.

Ta có: ^HBC = ^DBA (=45⁰) => ^HBC + ^ABH = ^DBA + ^ABH => ^ABC = ^DBH             (1)

\(\Delta\)ADB ~ \(\Delta\)CHB (Cùng là tam giác vuông cân) => \(\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BH}\)=> \(\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BH}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)DBH (c.g.c) => \(\frac{AC}{DH}=\frac{AB}{DB}\)

Mà \(\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{AF}\) nên \(\frac{AC}{DH}=\frac{AC}{AF}\)=> DH = AF. Tương tự: FH = AD

Do đó: Tứ giác AFHD là hình bình hành. Do AH cắt DF ở I => I là trung điểm AH và DF (T/c hbh)

Dễ thấy: Tứ giác BHCE là hình vuông, có HE giao BC ở G => G là trung điểm EH và BC

Xét \(\Delta\)AEH: I là trung điểm AH; G là trung điểm EH => IG là đường trung bình \(\Delta\)AEH => IG // AE (3)

\(\Delta\)CGF = \(\Delta\)BGK (c.g.c) => CF = BK => AF = BK (Do CF = AF) 

Lại có: ^DBK = 360⁰ - ^ABD - ^ABC - ^GBK = 360⁰ - 45⁰ - ^ABC - ^ACB - 45⁰ = 90⁰ + ^BAC 

            ^DAF = ^BAC + ^BAD + ^CAF = ^BAC + 90⁰

=> ^DAF = ^DBK. Xét \(\Delta\)ADF và \(\Delta\)BDK có: ^DAF = ^DBK; AD=BD; AF=BK => \(\Delta\)ADF = \(\Delta\)DBK (c.g.c)

=> ^ADF = ^BDK => ^ADF + ^BDF = ^BDK + ^BDF => ^ADB = ^FDK = 90⁰

Xét \(\Delta\)DKF : I là trung điểm DF; G là trung điểm FK => IG là đường trung bình \(\Delta\)DKF => IG // DK

Mà DK vuông góc DF (Vì ^FDK = 90⁰) nên IG vuông góc DF  (4)

Từ (3) và (4) => AE vuông góc DF (Quan hệ song song vuông góc) 

C/m tương tự, ta có: CD vuông góc EF; BF vuông góc DE

Từ đó: AE; BF; CD là 3 đường cao trong \(\Delta\)DEF => 3 đường AE; BF; CD đồng qui (đpcm).

Answer 2

[Nguyễn Tiến Đạt]

Vẽ được cái hình chắc cx mệt lắm nhỉ híc