Chứng minh:
Tại sao a : ( b . c ) = a : b : c ?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}>\frac{c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (1)
Lại có:
\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế lại được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< 2\)
Vậy \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< 2\) (Đpcm)
Ta có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Vậy \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\left(đpcm\right)\)