Tính \(P=\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2003^2}+\frac{1}{2014^2}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 7 2017
Ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Thế vô bài toán được
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2016\sqrt{2015}+2015\sqrt{2016}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2015}}-\frac{1}{\sqrt{2016}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{2016}}\)
VT
15 tháng 8 2017
bài 2 là bài 21 trong nâng cao phát triển toán 9, chắc bạn có chứ
16 tháng 8 2017
Bài 1: Ta có:
\(x^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}}=5+\sqrt{13+x}\)
\(\Rightarrow x^2-5=\sqrt{13+x}\Rightarrow x^4-10x^2+25=13+x\Leftrightarrow x^4-10x^2-x+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x^3+3x^2-x-4\right)=0\)
Pt này có 1 nghiệm x = 3 và 3 nghiệm nhỏ hơn 2.
Vì \(x>\sqrt{4}=2\)
Vậy x = 3.
15 tháng 10 2016
Chứng minh \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\) rồi áp dụng với n = 1,2,....,2014
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 11 2019
1/ Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu và rút gọn ta được:
\(A=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{25}-\sqrt{24}\)
\(=\sqrt{25}-1=4\)
b/ \(\sqrt{1+\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2}\right)^2}=\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+2\right)^2}+\frac{2}{n\left(n+2\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(n^2+2n\right)^2+n^2+\left(n+2\right)^2+2n\left(n+2\right)}{n^2\left(n+2\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(n^2+2n\right)^2+4\left(n^2+2n\right)+4}{n^2\left(n+2\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(n^2+2n+2\right)^2}{n^2\left(n+2\right)^2}}=\frac{n^2+2n+2}{n\left(n+2\right)}=1+\frac{2}{n\left(n+2\right)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\)
\(\Rightarrow S=2014+1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2016}\)
\(S=2014+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}=...\)
Xửa đề luôn
\(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(n^2+n+1\right)^2}{n^2\left(n+1\right)^2}}\)
\(=\frac{n^2+n+1}{n\left(n+1\right)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
Thê vô được
\(P=2002+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}\right)=2002+\frac{1}{2}-\frac{1}{2004}\)
làm sao ra 2002 vậy?