c/m đẳng thức:
a. \(\left(a-b+c\right)^2-\left(a+b+c\right)^2=-4ab-4bc\)
b. \(6,3-5x+x^2>0\forall x\)
giúp mk với cảm ơn các bạn nhiều ạ!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dat \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
Ta co: \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Ta d̃i CM:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Ta co:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\left(dpcm\right)\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)
Bài 1:
Vì $a\geq 1$ nên:
\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)
\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=1$
Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$
Xét hàm:
\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)
\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)
Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ
\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất
Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.
Bài 1:
Có: P(-2) = 4a - 2b + c
P(1) = a + b + c
=> P(-2) + P(1) = 5a -b + 2c = 0
=> P(-2) và P(1) là 2 số trái dấu nhau hoặc cùng bằng 0
Do đó P(-2). P(1) \(\le\) 0
Bài 2 :
Ta có: \(5x-x^2=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(5-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\5-x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=5\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của B(x) là x=0 hoặc x=5
Bài 3:
Pt \(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^3-9\left(x-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left[\left(x-4\right)^2-9\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-4+3\right)\left(x-4-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-1\right)\left(x-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-4=0\\x-1=0\\x-7=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=1\\x=7\end{matrix}\right.\)
Vậy các giá trị cần tìm là x=4; x=1 hoặc x=7
a) \(\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{ab^2-ac^2-b^3+bc^2}\)
\(=\frac{a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2\left(a-b\right)}{ab^2-b^3-ac^2+bc^2}\)
\(=\frac{\left(a^2b-b^2a\right)+\left(b^2c-a^2c\right)+c^2\left(a-b\right)}{b^2\left(a-b\right)-c^2\left(a-b\right)}\)
\(=\frac{ab\left(a-b\right)+c\left(b^2-a^2\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(b^2-c^2\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\frac{ab\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\frac{ab-c\left(a+b\right)+c^2}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{ab-ac+c^2-bc}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{a-b}{b+c}\)
Với a,b,c,d >0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(c+d\ge2\sqrt{cd}\)
Do đó : \(a+b+c+d\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\) \(=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\ge2\sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{cd}}=2\sqrt[4]{abcd}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có : \(a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)
\(\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\ge abcd\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d\)
ta có: \(\left(a-b+c\right)^2-\left(a+b+c\right)^2\)
VT \(=\left(a-b+c\right)\left(a-b+c\right)-\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=a^2-ab+ac-ab+b^2-bc+ac-bc+c^2-a^2-ab-ac-ab-b^2-bc-ac-c-c^2\)
= \(-4ab-4bc=VT\left(đpcm\right)\)
a ) \(\left(a-b+c\right)^2-\left(a+b+c\right)^2\)
\(=\left(a-b+c-a-b-c\right)\left(a-b+c+a+b+c\right)\)
\(=-2b\left(2a+2c\right)\)
\(=-4ab-4bc\left(đpcm\right)\)
b ) \(6,3-5x+x^2\)
\(=x^2-5x+\dfrac{63}{10}\)
\(=x^2-5x+\dfrac{25}{4}+\dfrac{1}{20}\)
\(=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{20}\ge\dfrac{1}{20}>0\forall x\left(đpcm\right)\)
:D