Question

[Biển Vũ Đức]

Cho hàm số y=\(3x^2+6x+5\).CMR:

a,hàm số đồng biến khi x>-1

b.hàm số nghịch biến khi x<-1

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải

Xét \(x_1>x_2\) ta có:

\(y(x_1)-y(x_2)=(3x_1^2+6x_1+5)-(3x_2^2+6x_2+5)\)

\(=3(x_1^2-x_2^2)+6(x_1-x_2)\)

\(=3(x_1-x_2)(x_1+x_2)+6(x_1-x_2)=3(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)\)

\(>0\) với mọi \(x_1>x_2>-1\)

\(\Rightarrow y(x_1)>y_(x_2)\) với mọi \(x_1>x_2>-1\)

Do đó hàm số đồng biến khi \(x>-1\)

b) Làm tương tự, ngược lại suy ra đpcm.

Answer 2

[Mysterious Person]

a) đặc : \(f\left(x\right)=y=3x^2+6x+5\)

giả sử \(-1< a< b\)

khi đó ta có : \(\dfrac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{a-b}=\dfrac{3a^2+6a+5-3b^2-6b-5}{a-b}\)

\(=\dfrac{3\left(a ^2-b^2\right)+6\left(a-b\right)}{a-b}=\dfrac{3\left(a+b\right)\left(a-b\right)+6\left(a-b\right)}{a-b}\)

\(=\dfrac{3\left(a+b+2\right)\left(a-b\right)}{a-b}=3\left(a+b+2\right)\)

vì \(-1< a< b\Rightarrow a+b+2>0\Leftrightarrow3\left(a+b+2\right)>0\)

\(\Rightarrow\dfrac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{a-b}>0\) \(\Rightarrow\) hàm số này đồng biến khi \(x>-1\) (đpcm)

b) đặc : \(f\left(x\right)=y=3x^2+6x+5\)

giả sử \(a< b< -1\)

khi đó ta có : \(\dfrac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{a-b}=\dfrac{3a^2+6a+5-3b^2-6b-5}{a-b}\)

\(=\dfrac{3\left(a ^2-b^2\right)+6\left(a-b\right)}{a-b}=\dfrac{3\left(a+b\right)\left(a-b\right)+6\left(a-b\right)}{a-b}\)

\(=\dfrac{3\left(a+b+2\right)\left(a-b\right)}{a-b}=3\left(a+b+2\right)\)

vì \(a< b< -1\Rightarrow a+b+2< 0\Leftrightarrow3\left(a+b+2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\dfrac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{a-b}< 0\) \(\Rightarrow\) hàm số này nghịch biến khi \(x< -1\) (đpcm)