cho tam ABC có 3 cạnh a,b,c thỏa mãn a+b+c=6.
CMR\(52\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc< 54\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 8 2020
2) Ta có: Áp dụng bất đẳng thức:
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) ta được:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\frac{\left(a+b-c+b+c-a\right)^2}{4}=\frac{4b^2}{4}=b^2\)
Tương tự chứng minh được:
\(\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le c^2\)
\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)
Nhân vế 3 bất đẳng thức trên với nhau ta được:
\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
HP
0
DN
0
IM
21 tháng 8 2016
Ta có
\(a< b+c\left(bđt\Delta\right)\)
\(\Rightarrow2a< a+b+c\)
\(\Rightarrow2a< 2\)
\(\Rightarrow a< 1\)
\(\Rightarrow-a>-1\)
\(\Rightarrow1-a>0\)
Tương tự với b và c
\(\Rightarrow\begin{cases}1-b>0\\1-c>0\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
\(\Rightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-abc>0\)
\(\Rightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca>abc\)
\(\Rightarrow1-2+ab+bc+ca>abc\)
\(\Rightarrow-1+ab+bc+ca>abc\)
\(\Rightarrow-2+2ab+2bc+2ca>2abc\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-2>2acb+a^2+b^2+c^2\)
Áp dụng hằng đẳng thức \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2-2>2abc+a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2^2-2>2abc+a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2abc+a^2+b^2+c^2< 2\)
đpcm
21 tháng 8 2016
Giả sử a>=b>=c. Ta có:
a<b+c => 2a<a+b+c=2=>a<1=> b<1,c<1
=> (1-a)(1-b)(1-c)>0. Rút gọn ta được
ab+bc+ca >1+abc
Ta lại có: (a+b+)^2 =a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca)
=> 4= a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
=> 4> a^2+b^2+c^2+2(1+abc)=> 4>a^2+b^2+c^2+2+2abc
=> a^2+b^2_c^2+2abc<2
a<b+c => 2a<a+b+c=2=>a<1=> b<1,c<1
=> (1-a)(1-b)(1-c)>0. Rút gọn ta được
ab+bc+ca >1+abc
Ta lại có: (a+b+)^2 =a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca)
=> 4= a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
=> 4> a^2+b^2+c^2+2(1+abc)=> 4>a^2+b^2+c^2+2+2abc
=> a^2+b^2_c^2+2abc<2