tìm min m =\(\frac{x^2}{\left(x^{2 }+2\right)^3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
19 tháng 5 2017
2, rút gọn B=x^2/(y-1)+y^2/(x-1)
AM-GM : x^2/(y-1)+4(y-1) >/ 4x ; y^2/(x-1)+4(x-1) >/ 4y
=> B >/ 4x-4(y-1)+4y-4(x-1)=4x-4y+4+4y-4x+4=8
minB=8
TN
19 tháng 5 2017
Câu 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+1\ge2\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow x+1+x+1\ge x+2\sqrt{x}+1\)
\(\Rightarrow2x+2\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(1\right)\)
Tương tự cũng có: \(2y+2\ge\left(\sqrt{y}+1\right)^2\left(2\right)\)
Nhân theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta có:
\(\left(2x+2\right)\left(2y+2\right)\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{y}+1\right)^2\ge16\)
\(\Rightarrow4\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge16\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge4\)
Lại áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(x+1\right)+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge4\)
\(\Rightarrow x+y\ge2\). Giờ thì áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1\)
PN
2 tháng 8 2016
\(---------\)
Ta có:
\(x+y+4=\left(x+2\right)+\left(y+2\right)\ge2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\) (theo bđt \(AM-GM\) cho bộ số gồm hai số thực không âm)
nên \(x+y+\left(x+y+4\right)\ge x+y+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)
hay nói cách khác, \(2\left(x+y+2\right)\ge12\) (do \(x+y+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=12\) )
\(\Rightarrow\) \(x+y\ge4\)
Do đó, sau khi thiết lập điều kiện cho \(x,y\) , ta tiếp tục áp dụng \(AM-GM\) cho 3 số thực dương đã cho trước, điển hình như:
\(\frac{x^3}{y+2}+\frac{y+2}{2}+2\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(y+2\right)}.\frac{\left(y+2\right)}{2}.2}=3x\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{x^3}{y+2}\ge3x-\frac{y+2}{2}-2\) \(\left(1\right)\)
Đổi biến, thực hiện công đoạn trên tương tự đối với phân thức sau, rút gọn và biến đổi lặp lại:
\(\frac{y^3}{x+2}\ge3y-\frac{x+2}{2}-2\) \(\left(2\right)\)
Gộp \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) với nhau cùng với dấu liên kết \(\left(+\right)\) , khi đó:
\(\frac{x^3}{y+2}+\frac{y^3}{x+2}\ge\frac{5}{2}\left(x+y\right)-6\)
Lúc đó,
\(M\ge\frac{5}{2}\left(x+y\right)+\frac{48}{x+y}-6\)
\(---------\)
Đặt \(t=x+y\) \(\Rightarrow\) \(t\ge4\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{t}{2}\ge2\) \(\Rightarrow\) \(\frac{t}{2}-2\ge0\) \(\left(3\right)\)
Ta biễu diễn bđt trên lại như sau:
\(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{48}{t}-6\)
tức là \(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{t}{2}+\frac{48}{t}-6-2\) (do \(\left(3\right)\) )
hay \(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{t}{2}+\frac{48}{t}-6-2=3t+\frac{48}{t}-8\)
Mặt khác, ta lại có: \(3t+\frac{48}{t}\ge2\sqrt{3t.\frac{48}{t}}=24\)
nên \(M\ge24-8=16\)
Vậy, \(M_{min}=16\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=2\)
3 tháng 8 2016
- cách Phước Nguyễn dài :)). Tư gt bạn suy ra đc \(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=4\).(1)
- Áp dụng bdt cosi cho 3 số dg :\(\frac{x^3}{y+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{y+2}\ge3x\)\(\frac{^{y^3}}{x+2}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}\ge3y\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y+2}+\frac{y^3}{x+2}+2.\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}\right)\ge3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow M+8\ge3\left(x+y\right)+\frac{48}{x+y}\ge2.\sqrt{3.\left(x+y\right).\frac{48}{x+y}}=24\)( do (1) và áp dụng bdt cosi cho 2 số dg) . Dấu "=" xảy ra <=> x=y=2 . OK.
20 tháng 5 2019
\(M=5\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)+2.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(M\ge5.\left(\frac{3}{4}\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=5.\frac{9}{16}+\frac{\frac{9}{16}}{3}+2.\frac{9}{\frac{4.3}{4}}=9\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/4 ( cái này bạn tự giải rõ nhé)
VT
22 tháng 10 2019
M= \(x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\)
\(xy+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}\ge2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}+\frac{15\left(x+y\right)}{16xy}=\frac{1}{2}+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge\)\(\frac{1}{2}+\frac{15}{16}.\frac{4}{x+y}=\frac{1}{2}+\frac{15}{16}.4=\frac{17}{4}\) => M\(\ge\frac{17^2}{4^2}\)
dấu '=' khi xy = \(\frac{1}{16xy};x=y=>x=y=\frac{1}{2}\)
22 tháng 10 2020
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=\frac{x^2y^2+1}{y^2}.\frac{y^2x^2+1}{x^2}=\frac{\left(x^2y^2+1\right)^2}{x^2y^2}\)
\(=\frac{x^4y^4+2x^2y^2+1}{x^2y^2}=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\)
ta có:\(xy+\frac{1}{xy}=16xy+\frac{1}{xy}-15xy \left(1\right) \)
mặt khác:\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow-15xy\ge-\frac{15}{4} \left(2\right)\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:\(16xy+\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{16xy.\frac{1}{xy}}=8 \left(3\right)\)
từ (1), (2), (3) ta có\(xy+\frac{1}{xy}\ge8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\Rightarrow\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\ge\frac{289}{16}\)
vậy \(M_{min}=\frac{289}{16}\)đạt được khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
11 tháng 8 2018
Đặt √x = a > 0 thì có
P.2.a(a + 1) - (a - 2)(a - 3) = 0
<=> (2P - 1)x2 + (2P + 5)x - 6 = 0
Để có nghiệm thì:
∆ = (2P + 5)2 - 4.6.(2P - 1) >= 0
Xong rồi đó. Tìm được P >= đó bé
ta có
x2\(\ge\)0
x2+2>0->(x2+2)3>0
suy ra\(\frac{x^2}{\left(x^2+2\right)^3}\)\(\ge\)0
vậy min =0