Cho a + b + c = 0
CMR: \(a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 1 2022
nhân cả vế với abc ta có điều cần chứng minh
\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)
VT\(\ge\)\(\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{bc+ac+ab}{2}\)
=>(đpcm)
mấu chốt nằm ở đoạn chứng minh\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
chỉ cần chứng minh được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)sau đó áp dụng để chứng minh cái kia thôi cái này bạn thử tự chứng minh nhé
15 tháng 10 2021
1.
\(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4>0\\ \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)< 0\\ \Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]< 0\\ \Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\left(1\right)\)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tg nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a-b< c\\a+b>c\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b+c>0\\a-b-c< 0\\a+b-c>0\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\)
Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng (do 3 dương nhân 1 âm ra âm)
Từ đó ta được đpcm
24 tháng 10 2021
\(a,\) Đặt \(A=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
Với \(a=-b\) ta được \(A=0\)
Do vai trò bình đẳng của a,b,c và A bậc 3 nên nhân tử còn lại là hằng số k
Do đó \(A=k\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Cho \(a=b=c=1\Leftrightarrow3^3-1-1-1=8k\Leftrightarrow k=3\)
Do đó \(A=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(b,\) Đặt \(B=a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)\)
Với \(a=b\Leftrightarrow B=0\)
Do vai trò bình đẳng của a,b,c và B bậc 4 nên \(B=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)Q\) trong đó Q bậc nhất
Do đó \(Q=\left(a+b+c\right)R\) với R là hằng số
\(\Leftrightarrow B=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)R\)
Cho \(a=1;b=2;c=3\Leftrightarrow-12=12R\Leftrightarrow R=-1\)
Do đó \(B=-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)\)
\(c,\) Đặt \(C=\left(a+b+c\right)^5-a^5-b^5-c^5\)
Cho \(a=-b\Leftrightarrow C=0\)
Do vai trò bình đẳng của a,b,c và C bậc 5 nên \(C=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)P\) trong đó P bậc 2
Do đó \(P=\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)R\) với R là hằng số
\(\Leftrightarrow C=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)R\)
Cho \(a=1;b=2;c=3\Leftrightarrow7500=1500R\Leftrightarrow R=5\)
Do đó \(C=5\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)\)
24 tháng 10 2021
\(d,\) Đặt \(D=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4\)
Với \(a=b+c\Leftrightarrow D=0\)
Do vai trò bình đẳng của a,b,c và D bậc 4 nên \(D=\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)R\) với R bậc nhất
Do đó \(R=\left(a+b+c\right)Q\) với Q là hằng số
\(\Leftrightarrow D=\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)Q\)
Cho \(a=b=c=1\Leftrightarrow Q=1\)
Do đó \(D=\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
1 tháng 8 2017
Tính ra a+b+c<=4 nhé (dùng Bu-nhi-a cop-xki)
Phần còn lại tự xử nhé)
1 tháng 2 2016
đây là toán lớp 1 à bạn , lớp 1 chưa học số mũ đâu nhé
LV
6 tháng 5 2017
BĐT cần chứng minh tương đương \(a^4+b^4+c^4\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-abc\left(a+b+c\right)\)
mà \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)(BĐT cauchy)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(cần chứng minh)
ÁP dụng bất đẳng thức bunyakovsky:
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
mà \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)(hệ quả BĐT cauchy)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(đpcm)
dấu = xảy ra khi a=b=c