Choa,b,c,d>0 t/m ab=cd=1
CMR: (a+b)(c+d)+4>= 2(a+b+c+d)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
I
1
I
11 tháng 4 2020
Zới mọi \(x,y>0\), áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(x^2+y^2=\frac{2xy\left(x^2+y^2\right)}{2xy}\le\frac{\frac{\left(2xy+x^2+y^2\right)^2}{4}}{2xy}=\frac{\left(x+y\right)^4}{8xy}\)
sử dụng kết quả trên ta thu đc các kết quả sau
\(a^2+c^2\le\frac{\left(a+c\right)^4}{8ac}=\frac{\left(a+c\right)^4bd}{8abcd}\le\frac{\left(a+c\right)^4\left(b+d\right)^2}{32abcd}\)
\(b^2+d^2\le\frac{\left(b+d\right)^4}{8bd}=\frac{\left(b+d\right)^4ac}{8abcd}\le\frac{\left(b+d\right)^4\left(c+a\right)^2}{32abcd}\)
Như zậy ta chỉ còn cần CM đc
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}\ge\frac{\left(a+c\right)^2\left(b+d\right)^2\left[\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\right]}{32abcd}\)
BĐT trên tương đương zới
\(\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{abcd}\ge\frac{\left(a+c\right)^2\left(b+d\right)^2\left[\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\right]}{32abcd}\)
hay
\(\left(a+c\right)\left(b+d\right)\left[\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\right]\le32\)
đến đây bạn lại sử dụng kết quả trên ta có ĐPCM nhá
Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d=1
7 tháng 3 2023
Đặt a/b=c/d=k
=>a=bk;c=dk
\(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\cdot b}{dk\cdot d}=\dfrac{b^2}{d^2}\)
\(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{ab}{cd}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 11 2017
Lời giải:
a)
Bổ đề: Tam giác $ABC$ có \(\angle A=\alpha\) thì \(S_{ABC}=\frac{AB.AC\sin \alpha}{2}\)
Chứng minh: Từ $B$ kẻ đường cao $BH$ của tam giác
Khi đó:\(S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}\) (1)
Mà \(\frac{BH}{AB}=\sin \alpha\) (TH góc A tù thì ta có: \(\frac{BH}{AB}=\sin (180^0-\alpha)=\sin \alpha\) ) \(\Rightarrow BH=AB.\sin \alpha\) (2)
Từ (1).(2) suy ra \(S_{ABC}=\frac{AB.AC.\sin \alpha}{2}\)
--------------------------------------------
Quay lại bài toán:
a)
\(S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}=\frac{ab.\sin \angle ABC}{2}+\frac{cd.\sin \angle ADC}{2}\)
Vì \(\sin ABC, \sin ADC\leq 1\Rightarrow S_{ABCD}\leq \frac{ab}{2}+\frac{cd}{2}=\frac{ab+cd}{2}\)
Ta có đpcm.
b)
* Vế đầu tiên:
\(2S=S_{ABC}+S_{ADC}+S_{BAD}+S_{BCD}\)
\(=\frac{ac\sin \angle ABC}{2}+\frac{cd\sin \angle ADC}{2}+\frac{ad.\sin \angle BAD}{2}+\frac{bc\sin \angle BCD}{2}\)
\(\leq \frac{ac}{2}+\frac{cd}{2}+\frac{ad}{2}+\frac{bc}{2}=\frac{ac+cd+ad+bc}{2}\)
\(\Leftrightarrow 4S\leq ac+cd+ad+bc=(a+c)(b+d)\) (đpcm)
* Vế sau:
\(p^2=\left(\frac{a+b+c+d}{2}\right)^2=\frac{[(a+c)+(b+d)]^2}{4}\)
Áp dụng bđt AM-GM: \((a+c)+(b+d)\geq 2\sqrt{(a+c)(b+d)}\)
\(\Rightarrow 4p^2=[(a+c)+(b+d)]^2\geq 4(a+c)(b+d)\)
\(\Rightarrow p^2\geq (a+c)(b+d)\) (đpcm)
c)
Theo phần b, ta đã chứng minh được:
\(S\leq \frac{(a+c)(b+d)}{4}\) (1)
Mặt khác, áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^2+b^2\geq 2ab\)
\(a^2+d^2\geq 2ad\)
\(b^2+c^2\geq 2bc\)
\(c^2+d^2\geq 2cd\)
Cộng theo vế: \(\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq 2(ab+ad+bc+cd)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq ab+ad+bc+cd=(a+c)(b+d)\) (2)
Từ \((1);(2)\Rightarrow S\leq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\) (đpcm)
TH
0
16 tháng 11 2022
Bài 2:
a: TH1: x>=1
A=x-1-2x+5=-x+4
TH2: x<1
A=1-x-2x+5=-3x+6
b: TH1: x>=1
=>-x+4=0
=>x=4(nhận)
TH2: x<1
=>-3x+6=0
=>x=2(loại)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+b\\y=c+d\end{matrix}\right.\)
Thế vào đề ta được
\(xy+4\ge2\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow xy-2x+4-2y\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(x-2\right)\ge0\)
Chứng minh \(\left(y-2\right)\left(x-2\right)\ge0\)
Ta có : (Đây là phần mình chứng minh nha, có gì sai mong bạn chỉ bảo )
\(\left\{{}\begin{matrix}x=a+b\\y=c+d\end{matrix}\right.\)
Áp dụng bđt Cosi ta được :
\(\left\{{}\begin{matrix}x=a+b\ge2\sqrt{ab}\\y=c+d\ge2\sqrt{cd}\end{matrix}\right.\)
Mà ab=cd=1
Nên \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+b\ge2\\y=c+d\ge2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\y-2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\ge0\)
=> ĐPCM