Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=1
CMR:\(\sqrt{a+1}\) +\(\sqrt{b+1}\) +\(\sqrt{c+1}\) <=2\(\sqrt{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
13 tháng 3 2019
Giải thử ạ,sai bỏ qua ạ:
gt ->\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
\(\sqrt{1+a^2}=\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+a^2}=\sqrt{\frac{1}{4}}.\sqrt{4\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a^2}\right)}\)
\(\le\frac{4+\frac{4}{a^2}}{4}=1+\frac{1}{a^2}\)
Tương tự và cộng theo vế: \(VT\le2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\sqrt{1+c^2}\)
Ta sẽ c/m: \(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\sqrt{1+c^2}\right)< -1\).Tới đây em bí -_-"
13 tháng 10 2017
Chứng minh:
\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{b+1}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{b+1}+\sqrt{b}}< \frac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{b}< \sqrt{b+1}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{b}< \sqrt{b+1}\)(đúng)
Cái còn lại tương tự
KN
22 tháng 8 2020
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau \(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với \(\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge2ax+2by\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunyakovsky nên (*) đúng
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\)\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
Ta cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{153}{4}\)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy và chú ý giả thiết \(a+b+c\le\frac{3}{2}\), ta được:\(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}\)\(=\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1215}{16\left(a+b+c\right)^2}\)\(\ge2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2.\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{1215}{16.\frac{9}{4}}=\frac{153}{4}\)
Bất đẳng thức đã được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
T
29 tháng 1 2019
Easy!
\(A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\left[\sqrt{\left(a+b\right).\frac{2}{3}}+\sqrt{\left(b+c\right).\frac{2}{3}}+\sqrt{\left(c+a\right).\frac{2}{3}}\right]\) (*)
Áp dụng BĐT Cô si ngược,ta có:
(*) \(\le\sqrt{\frac{3}{2}}\left[\frac{a+b+\frac{2}{3}}{2}+\frac{b+c+\frac{2}{3}}{2}+\frac{c+a+\frac{2}{3}}{2}\right]\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\left(a+b+c+1\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}.2=\sqrt{6}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a+b=b+c=c+a=\frac{2}{3}\\a+b+c=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{1}{3}\)
7 tháng 1 2019
Chậc -.- ai ngờ bài này lại dễ vậy .... Cứ chứng minh đủ kiểu hóa ra dùng Cô-si là xong .... nghĩ xa quá XD
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương ta được
\(\sqrt{a^6+b^6+1}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{a^6.b^6.1}}=ab\sqrt{3}\)
C/m tương tự \(\sqrt{b^6+c^6+1}\ge bc\sqrt{3}\)
\(\sqrt{c^6+a^6+1}\ge ac\sqrt{3}\)
Cộng 3 bđt trên lại ta được
\(VT\ge\left(ab+bc+ca\right)\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b= c = 1
Vậy ..........
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Theo BĐT Bu - nhi - a - cốp - xki ta có :
\(\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+1+b+1+c+1\right)=3.4=12\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh
Chúc bạn học tốt
nếu dùng bđt Coossi đc k