Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) AM cắt BC tại P, AN cắt BC tại Q
Ta có: BN là đường cao của \(\Delta ABQ\) (gt) (1)
Mà BD là đường phân giác của \(\Delta ABC\) (gt)
\(\Rightarrow BN\)cũng là đường phân giác của \(\Delta ABQ\left(2\right)\)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\Delta ABQ\) cân tại B (3)
Từ (1), (3) \(\Rightarrow BN\) cũng là đường trung tuyến của \(\Delta ABQ\)
\(\Rightarrow\) NA = NQ (4)
Tương tự có: CM là đường cao của \(\Delta ACP\) (gt) (5)
Mà CK là đường phân giác của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow CM\)cũng là đường phân giác của \(\Delta ACP\)(6)
Từ (5), (6) \(\Rightarrow\Delta ACP\) cân tại C (7)
Từ (6), (7) \(\Rightarrow CM\)cũng là đường trung tuyến của \(\Delta ACP\)
\(\Rightarrow MA=MP\left(8\right)\)
Từ (4), (8) \(\Rightarrow MN\)là đường trung bình của \(\Delta APQ\)
\(\Rightarrow MN\)// PQ
\(\Rightarrow MN\)// BC (9)
b) MF cắt LC tại H
Từ (9) \(\Rightarrow\) MF // PC (10)
Từ (8), (10) \(\Rightarrow FA=FC\) (11)
Từ (1) \(\Rightarrow\) BN \(\perp AQ\)
\(\Rightarrow BL\perp AQ\) (12)
Mà BL \(\perp LC\) (gt) (13)
Từ (12), (13) \(\Rightarrow AQ\) // LC
\(\Rightarrow\widehat{NAF}=\widehat{HCF}\) (2 góc so le trong) (14)
Xét \(\Delta NFA\) và \(\Delta HFC\) ta có:
\(\widehat{NFA}=\widehat{HFC}\) (2 góc đối đỉnh) (15)
Từ (11), (14), (15) \(\Rightarrow\Delta NFA=\Delta HFC\left(G-C-G\right)\)
\(\Rightarrow FN=FH\) (2 cạnh tương ứng) (16)
Từ (16) \(\Rightarrow LF\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền NH của \(\Delta NLH\) vuông tại L
\(\Rightarrow LF=\dfrac{1}{2}NH\) (17)
Từ (16) \(\Rightarrow FN=FH=\dfrac{1}{2}NH\) (18)
Từ (17), (18) \(\Rightarrow LF=FN\)
\(\Rightarrow\Delta LFN\) cân tại F
\(\Rightarrow\)\(\widehat{LNF}=\widehat{NLF}\) (19)
Từ (2) \(\Rightarrow\widehat{ABN}=\widehat{QBN}\) (20)
Từ (9) \(\Rightarrow\widehat{MNB}=\widehat{QBN}\) (2 góc so le trong) (21)
Từ (20), (21) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABN}=\widehat{MNB}\) (22)
Mà \(\widehat{LNF}=\widehat{MNB}\) (2 góc đối đỉnh) (23)
Từ (22), (23) \(\Rightarrow\widehat{ABN}=\widehat{LNF}\left(24\right)\)
Từ (19), (24) \(\Rightarrow\widehat{NLF}=\widehat{ABN}\) (25)
Mà đây là cặp góc ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow LF\) // AB
LF cắt BC tại G
Từ (20), (25) \(\Rightarrow\Delta BGL\) cân tại G
\(\Rightarrow GB=GL\) (26)
Từ (9) \(\Rightarrow MH\)// PC
\(\Rightarrow\widehat{LHF}=\widehat{LCG}\) (2 góc đồng vị) (27)
Từ (17), (18) \(\Rightarrow LF=FH\)
\(\Rightarrow\Delta LFH\) cân tại F
\(\Rightarrow\widehat{HLF}=\widehat{LHF}\) (28)
Từ (27), (28) \(\Rightarrow\widehat{LCG}=\widehat{HLF}\)
\(\Rightarrow\Delta LGC\) cân tại G
\(\Rightarrow GL=GC\) (29)
Từ (26), (29) \(\Rightarrow GB=GC\)
Vậy LF sẽ đi qua trung điểm của BC
c) Từ (9) \(\Rightarrow\) NF // BC (30)
Từ (30), theo hệ quả của định lý Ta-lét ta có:
\(\dfrac{ND}{BD}=\dfrac{FN}{BC}\) (31)
Từ (30) \(\Rightarrow FG\)// BC, theo hệ quả của định lý Ta-lét ta có:
\(\dfrac{EF}{EB}=\dfrac{FH}{BC}\) (32)
Từ (16) \(\Rightarrow\dfrac{FN}{BC}=\dfrac{FH}{BC}\) (33)
Từ (31), (32), (33) \(\Rightarrow\dfrac{ND}{BD}=\dfrac{EF}{EB}\) (34)
Từ (34) \(\Rightarrow\) NF // DE (định lý Ta-lét đảo) (35)
Từ (30), (35) \(\Rightarrow DE\) // BC
a) Ta thấy \(\widehat{ECN}=\widehat{ACB}\) (Hai góc đối đỉnh)
Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{ECN}=\widehat{DBM}\)
Xét tam giác vuông BDM và CEN có:
BD = CE
\(\widehat{ECN}=\widehat{DBM}\) (cmt)
\(\Rightarrow\Delta BDM=\Delta CEN\) (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề)
\(\Rightarrow BM=CN\) (Hai cạnh tương ứng)
b) Do \(\Delta BDM=\Delta CEN\Rightarrow MD=NE\)
Ta thấy MD và NE cùng vuông góc BC nên MD // NE
Suy ra \(\widehat{DMI}=\widehat{ENI}\) (Hai góc so le trong)
Xét tam giác vuông MDI và NEI có:
MD = NE
\(\widehat{DMI}=\widehat{ENI}\)
\(\Rightarrow\Delta MDI=\Delta NEI\) (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề)
\(\Rightarrow MI=NI\)
Xét tam giác KMN có KI là đường cao đồng thời trung tuyến nên KMN là tam giác cân tại K.
c) Ta có ngay \(\Delta ABK=\Delta ACK\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ABK}=\widehat{ACK}\) (1) và BK = CK
Xét tam giác BMK và CNK có:
BM = CN (cma)
MK = NK (cmb)
BK = CK (cmt)
\(\Rightarrow\Delta BMK=\Delta CNK\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{MBK}=\widehat{NCK}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ACK}=\widehat{NCK}\)
Chúng lại là hai góc kề bù nên \(\widehat{ACK}=\widehat{NCK}=90^o\)
Vậy \(KC\perp AN\)
