Question

[Nguyễn Trần Duy Thiệu]

Cmr nếu 3 số a,a+k và a+2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì \(k⋮6\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta thấy $a,a+k$ đều là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên chúng đều lẻ.

Do đó: \((a+k)-a\) chẵn hay $k$ chẵn. Vậy \(k\vdots 2(1)\)

Số nguyên tố lớn hơn 3 thì chia 3 dư $1$ hoặc $2$. Mà có 3 số ($a,a+k,a+2k$) nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left[\frac{3}{2}\right]+1=2\) số cùng số dư khi chia $3$. Giả sử $a,a+k$ cùng số dư khi chia cho $3$

Khi đó: \((a+k)-a\vdots 3\Leftrightarrow k\vdots 3(2)\)

Từ $(1),(2)$ kết hợp với $(2,3)=1$ suy ra \(k\vdots 6\)

Answer 2

[Xuân Sáng]

Vì 2k luôn là số chẵn nên nếu k là số lẻ thì trong hai số a + k và a + 2k sẽ có một số chẵn và 1 số lẻ. Mà số chẵn lớn hơn 3 thì chia hết cho 2 => Không là số nguyên tố. Vậy k phải là số chẵn (tức là k chia hết cho 2).

Tương tự, k phải chia hết cho 3, vì nếu k chia 3 dư 1 hoặc 2 thì 2k chia cho 3 dư 2 hoặc 1 => Trong 3 số a, a +k, a +2k khi chia cho 3 chắc chắn có 1 số chia hết cho 3. (vì nếu a chia hết cho 3 thì trong 3 số đó, số đầu tiên là a chia hết cho 3; nếu a chia 3 dư 1 thì a + k hoặc a + 2k phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số k và 2k có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2; nếu a chia 3 dư 2 thì a + k và a + 2k phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số k và 2k có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2).

Vậy k chia hết cho 2 và cho 3 => k chia hết cho 6.