Tìm \(n\in\)N* sao cho \(n^6+n^4-n^3+1\) là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CT
0
KN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 11 2023
Lời giải:
Để $n^4+n^3+1$ là scp $\Leftrightarrow A=4n^4+4n^3+4$ cũng phải là scp
Xét $A-(2n^2+n+1)^2=4n^4+4n^3+4-(2n^2+n+1)^2=-5n^2-2n+3\leq -5-2n+3=-2-2n<0$ với mọi $n\geq 1$
$\Rightarrow A< (2n^2+n+1)^2(1)$
Xét $A-(2n^2+n-1)^2=4n^4+4n^3+4-(2n^2+n-1)^2=3n^2+2n+3>0$ với mọi $n\geq 1$
$\Rightarrow A> (2n^2+n-1)^2(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow (2n^2+n-1)^2< A< (2n^2+n+1)^2$
$\Rightarrow A=(2n^2+n)^2$
$\Rightarrow (4n^4+4n^3+4)=(2n^2+n)^2$
$\Leftrightarrow 4-n^2=0$
$\Rightarrow n=2$
HL
0
U
0
Lời giải:
Để \(n^6+n^4-n^3+1\) là scp thì \(A=4n^6+4n^4-4n^3+4\) cũng phải là scp.
Ta thấy:
\(A-(2n^3+n)^2=-4n^3+4-n^2=4(1-n^3)-n^2< 0\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\)
Do đó: \(A< (2n^3+n)^2(1)\)
Lại có:
\(A-(2n^3+n-2)^2=4n^3-n^2+4n=n(4n^2-n+4)\)
\(n[(n-\frac{1}{2})^2+3n^2+\frac{15}{4}]>0\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\)
Do đó \(A> (2n^3+n-2)^2(2)\)
Từ (1);(2) suy ra để A là scp thì \(A=(2n^3+n-1)^2\)
\(\Leftrightarrow 4n^6+4n^4-4n^3+4=(2n^3+n-2)^2\)
Thực hiện khai triển rút gọn:
\(\Rightarrow n^2-2n-3=0\Leftrightarrow (n-3)(n+1)=0\)
\(\Rightarrow n=3\) do $n\in\mathbb{N}^*$
Vậy..........