Question

[Nguyễn Hải An]

giúp câu b vs ạ !

a, CMR : a² - ab + b² \(\ge\) ^{\(\dfrac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\) với mọi giá trị của a,b}

^{b, Cho các số dương a,b,c . CMR :}

^{\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}\)} + \(\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}\) + \(\dfrac{c^3}{c^2+ac+c^2}\)\(\ge\) \(\dfrac{a+b+c}{3}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có:

\(\text{VT}=a-\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}+b-\frac{bc(b+c)}{b^2+bc+c^2}+c-\frac{ca(c+a)}{c^2+ca+a^2}\)

\(=a+b+c-\left(\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}+\frac{bc(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{ca(c+a)}{c^2+ca+a^2}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\geq a+b+c-\left(\frac{ab(a+b)}{2ab+ab}+\frac{bc(b+c)}{2bc+bc}+\frac{ca(c+a)}{2ac+ac}\right)\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq a+b+c-\frac{2}{3}(a+b+c)=\frac{a+b+c}{3}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 2

[Mashiro Shiina]

Xin câu 1 ạ !