Cho a,b, c là 3 số thực dương . CMR
\(\dfrac{1}{a\sqrt{3a+2b}}\)+ \(\dfrac{1}{b\sqrt{3b+2c}}\) + \(\dfrac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\)\(\ge\)\(\dfrac{3}{\sqrt{5abc}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 5 2020
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{5abc}}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{\sqrt{5abc}}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{\sqrt{5abc}}{c\sqrt{3c+2a}}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{5a\left(3a+2b\right)}}+\frac{\sqrt{ac}}{\sqrt{5b\left(3b+2c\right)}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{5c\left(3c+2a\right)}}\ge\frac{3}{5}\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc}{\sqrt{5ab\left(3ac+2bc\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{5bc\left(3ab+2ac\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{5ac\left(3bc+2ab\right)}}\ge\frac{3}{5}\)
Thật vậy, theo AM-GM ta có:
\(VT\ge\frac{2bc}{5ab+2bc+3ac}+\frac{2ac}{3ab+5bc+2ac}+\frac{2ab}{2ab+3bc+5ac}\)
Đặt \(\left(ab;bc;ca\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{2x}{2x+3y+5z}+\frac{2y}{5x+2y+3z}+\frac{2z}{3x+5y+2z}=\frac{2x^2}{2x^2+3xy+5zx}+\frac{2y^2}{5xy+2y^2+3yz}+\frac{2z^2}{3zx+5yz+2z^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{5}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 1 2020
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}+\frac{ac}{\sqrt{5abc(3b+2c)}}+\frac{ab}{\sqrt{5abc(3c+2a)}}\geq \frac{3}{5}(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(5abc(3a+2b)=5ab.(3ac+2bc)\leq \left(\frac{5ab+3ac+2bc}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}\geq \frac{2bc}{5ab+3ac+2bc}=\frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, cộng theo vế ta suy ra:
\(\sum \frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}\geq \sum \frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}(1)\)
Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz và AM-GM:
\(\sum \frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}\geq 2.\frac{(bc+ab+ac)^2}{2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+4abc(a+b+c)]}=\frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+4abc(a+b+c)}\)
\(=\frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+2abc(a+b+c)}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+\frac{2}{3}(ab+bc+ac)^2}=\frac{3}{5}(2)\)
Từ $(1);(2)$ suy ra $(*)$ đúng. BĐT được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
13 tháng 6 2017
Ta có:
\(\frac{\sqrt{5abc}}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{\sqrt{5abc}}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{\sqrt{5abc}}{c\sqrt{3c+2a}}\)
\(=\frac{5bc}{\sqrt{5ab\left(3ac+2bc\right)}}+\frac{5ac}{\sqrt{5bc\left(3ba+2ca\right)}}+\frac{5ab}{\sqrt{5ca\left(3cb+2ab\right)}}\)
\(\ge\frac{10bc}{5ab+3ac+2bc}+\frac{10ac}{5bc+3ba+2ca}+\frac{10ab}{5ca+3cb+2ab}\)
Đặt \(ab=x,bc=y,ca=z\)(cho dễ nhìn)
\(=\frac{10x}{2x+3y+5z}+\frac{10y}{2y+3z+5x}+\frac{10z}{2z+3x+5y}\)
\(=\frac{10x^2}{2x^2+3yx+5zx}+\frac{10y^2}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{10z^2}{2z^2+3xz+5yz}\)
\(\ge\frac{10\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\)
Giờ ta cần chứng minh
\(\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(đúng)
Vậy ta có ĐPCM
13 tháng 6 2017
alibaba nguyễn bạn trả lời đúng đấy! Nhưng để dễ hiểu hơn ta nên áp dụng tổ hợp BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz nhé!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2021
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)
BĐT trở thành: \(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}+\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}+\dfrac{zx}{\sqrt{x^2+z^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\)
Ta có:
\(x^2+z^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+z\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)^2\ge\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}\le\dfrac{xy}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xy}{x+z}+\dfrac{xy}{y+z}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{yz}{x+y}+\dfrac{yz}{x+z}\right)\)
\(\dfrac{zx}{\sqrt{z^2+x^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx}{x+y}+\dfrac{zx}{y+z}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx+yz}{x+y}+\dfrac{xy+zx}{y+z}+\dfrac{yz+xy}{z+x}\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
11 tháng 11 2018
Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :
\(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\ge\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\dfrac{2a^2+2b^2+2c^2}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự ta có :
\(\dfrac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng từng vế BĐT :
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
KB
26 tháng 2 2019
Đặt PT đã cho ở đề là A
Ta có : \(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{3a\left(a+4b\right)+2b\left(a+4b\right)}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\)
\(\le\dfrac{3a+2b+a+4b}{2}=\dfrac{4a+6b}{2}=2a+3b\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\dfrac{a^2}{2a+3b}\)
Làm tương tự như trên , ta có :
\(\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}\ge\dfrac{b^2}{2b+3c};\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ac}}\ge\dfrac{c^2}{2c+3a}\)
Nên : \(A\ge\dfrac{a^2}{2a+3b}+\dfrac{b^2}{2b+3c}+\dfrac{c^2}{2c+3a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\dfrac{5}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 2 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^3}{2b+3c}+\frac{b^3}{2c+3a}+\frac{c^3}{2a+3b}=\frac{a^4}{2ab+3ac}+\frac{b^4}{2bc+3ba}+\frac{c^4}{2ac+3bc}\)
\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2ab+3ac+2bc+3ba+2ac+3bc}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(ab+bc+ac)}\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)}{5(ab+bc+ac)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{5}\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của Phác Chí Mẫn - Toán lớp 9 | Học trực tuyến