Cho x > 1, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
\(\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge4x\).
Tương tự, \(\dfrac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\).
Cộng vế với vế hai bđt trên rồi rút gọn ta được:
\(\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\ge8\)
\(\Rightarrow P\ge8+2013=2021\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2.
Vậy....
HP
21 tháng 8 2021
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(P=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\)
\(=\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)+\dfrac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)-4\left(x+y\right)+8\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}+2\sqrt{\dfrac{y^2}{x-1}.4\left(x-1\right)}-4\left(x+y\right)+8\)
\(\ge4\left(x+y\right)-4\left(x+y\right)+8=8\)
\(\Rightarrow P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge4x\) ; \(\dfrac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)
Cộng vế:
\(P+4\left(x+y\right)-8\ge4\left(x+y\right)\Rightarrow P\ge8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
28 tháng 2 2021
Áp dụng cosi
`1/x^2+1/y^2>=2/(xy)`
`=>1/2>=2/(xy)`
`=>xy>=4`
Aps dụng cosi
`=>x+y>=2\sqrt{xy}=2.2=4`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=4`
28 tháng 2 2021
Có : \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x^2}\cdot\dfrac{1}{y^2}}=\dfrac{2}{xy}\)
\(\Rightarrow xy\ge4\)
Ta có : \(A=x+y\ge2\sqrt{xy}=2\sqrt{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
Vậy min A = 4 khi $x=y=2$
CG
0
AT
7 tháng 2 2018
Toán lớp 6? -_-
\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\)
*Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\ge\dfrac{9}{xy+yz+zx}\)
\(P\ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{9}{xy+yz+xz}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\dfrac{7}{xy+yz+zx}\)
*Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
và \(\dfrac{7}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)}=21\)
\(\Rightarrow P\ge9+21=30\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 1 2019
\(T=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^2}{x\sqrt{y}}+\dfrac{y^2}{y\sqrt{x}}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\dfrac{1}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow T\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\ge\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)}{2}.\sqrt{2\left(x+y\right)}}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow T_{min}=\sqrt{2}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{x^2}{y-1}+4(y-1)\geq 2\sqrt{4x^2}=4x\)
\(\frac{y^2}{x-1}+4(x-1)\geq 2\sqrt{4y^2}=4y\)
Cộng theo vế:
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}+4(y-1)+4(x-1)\geq 4x+4y\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\geq 8\)
Vậy \(P_{\min}=8\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)