cho các số dưng thỏa abc=1.cm (a+1)(b+1)(c+1)\(\ge\)8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MT
0
NT
1
NT
27 tháng 12 2017
\(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge2\\ \Rightarrow\dfrac{1}{a+1}\ge\left(1-\dfrac{1}{b+1}\right)+\left(1-\dfrac{1}{c+1}\right)\\ \Rightarrow\dfrac{1}{a+1}\ge\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\)
Theo BĐT AM-GM ; ta có :
\(\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\ge 2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\dfrac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+c\right)\left(c+1\right)}\\ \Rightarrow a.b.c\le\dfrac{1}{8}\)
26 tháng 1 2022
BDT <=> \(4\left(a+b\right)\ge abc\)
<=> \(4\left(a+b\right)\ge ab\left(8-a-b\right)\)
<=> \(4\left(a+b\right)\ge8ab-ab\left(a+b\right)\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(ab+4\right)\ge8ab\)
Áp dụng Bdt Bunhiacopxki, ta có:
\(\left(a+b\right)\left(ab+4\right)\ge\left(a\sqrt{b}+2\sqrt{b}\right)^2=b\left(a+2\right)^2\)
Cần chứng minh \(b\left(a+2\right)^2\ge8ab\)
<=> \(a^2+4a+4\ge8a\)
<=> \(a^2-4a+4\ge0\)
<=> \(\left(a-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 2; c = 4
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2021
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{y}{x};\dfrac{z}{y};\dfrac{x}{z}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{1}{\dfrac{y}{x}\left(\dfrac{z}{y}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{z}{y}\left(\dfrac{x}{z}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{x}{z}\left(\dfrac{y}{x}+1\right)}\)
\(VT=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2023
Tách biểu thức như sau:
\(\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{24}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{b}{16}+\dfrac{c}{8}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{2}{ca}\right)+\left(\dfrac{13a}{18}+\dfrac{13b}{24}\right)+\left(\dfrac{13b}{48}+\dfrac{13c}{24}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2023
Đầu tiên em phải dự đoán được điểm rơi (các cặp a;b;c đẹp sao cho \(ab=12\) và \(bc=8\), có các bộ là \(\left(6;2;4\right);\left(3;4;2\right)\)
Sau đó thay 2 bộ kia vào P xem cái nào bằng \(\dfrac{121}{12}\) thì nó đúng (ở đây là 3;4;2)
Khi có điểm rơi, bây giờ chỉ cần tính toán và ghép theo AM-GM để khử tử- mẫu
Cần ghép \(\dfrac{8}{abc}+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\) (AM-GM 4 số sẽ khử hết biến)
\(\dfrac{8}{abc}=\dfrac{8}{3.4.2}=\dfrac{1}{3}\)
Do đó \(\dfrac{3}{x}=\dfrac{4}{y}=\dfrac{2}{z}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=9;y=12;z=6\)
Hay ta có bộ đầu tiên: \(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\)
Tương tự cho các biến dưới mẫu còn lại, phần dư cuối cùng sẽ ghép cặp a với b (tận dụng \(ab\ge12\)) và b với c, nó sẽ tự đủ
KN
1
11 tháng 12 2016
(a+b+c)^3= a^3+b^3 +c^3 +3abc( a+b+c)
= a^3 +b^3 +c^3 + 3(a+b+c)
Th1 nếu a+b+c=0
thì a^3 + b^3 +c^3 = a+b+c
TH2 a+b+c>0
thì a^3 +b^3 +c^3 > a+b+c
Ta có:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(a+abc\right)\left(b+abc\right)\left(c+abc\right)=abc\left(ab+1\right)\left(bc+1\right)\left(ca+1\right)=\left(ab+1\right)\left(ac+1\right)\left(bc+1\right)\)Á dụng bất đẳng thức Cauchy \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) ta có
\(ab+1\ge2\sqrt{ab.1}=2\sqrt{ab}\)
\(bc+1\ge2\sqrt{bc.1}=2\sqrt{bc}\)
\(ac+1\ge2\sqrt{ac.1}=2\sqrt{ac}\)
=> \(\left(ab+1\right)\left(ac+1\right)\left(bc+1\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8\sqrt{1}=8\)
hay \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
Đóng góp cách khác :))
Ta có:\(\left(a-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2a+1-4a\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)
TT\(\Rightarrow\left(b+1\right)^2\ge4b;\left(c+1\right)^2\ge4c\)
Nhân vế theo vế\(\Rightarrow\text{[}\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\text{]}^2\ge64abc\)
\(\Rightarrow\text{[}\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\text{]}^2\ge64\)
Mà a,b,c dương\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\left(\text{đ}pcm\right)\)