Cho a, b > 0 và a + b = 1. Tìm GTNN của:
\(A=\dfrac{1}{1+3ab+a^2}+\dfrac{1}{1+3ab+b^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 8 2021
\(C=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ab}\right)+3\left(ab+\dfrac{1}{16ab}\right)+\dfrac{29}{16ab}\)
\(C\ge\dfrac{16}{a^2+b^2+2ab}+6\sqrt{\dfrac{ab}{16ab}}+\dfrac{29}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{16}{1}+\dfrac{6}{4}+\dfrac{29}{4}=\dfrac{99}{4}\)
SW
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2021
Lời giải:
$1=a+b+3ab\leq (a+b)+3.\frac{(a+b)^2}{4}$
$\Rightarrow a+b\geq \frac{2}{3}$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2}{9}$
\(p=\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}+\frac{1-(a+b)}{a+b}=\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}+\frac{1}{a+b}-1\)
\(\leq \sqrt{(1-a^2+1-b^2)(1+1)}+\frac{1}{\frac{2}{3}}-1=\sqrt{2(2-a^2-b^2)}+\frac{1}{2}\)
Mà \(2-a^2-b^2\leq 2-\frac{2}{9}=\frac{16}{9}\)
Do đó:
\(P\leq \sqrt{\frac{32}{9}}+\frac{1}{2}=\frac{3+8\sqrt{2}}{6}\) và đây chính là giá trị max.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2021
SKY WARS:
Đặt $a+b=t$ thì:
$1\leq t+\frac{3}{4}t^2$
$\Leftrightarrow 4\leq 4t+3t^2$
$\Leftrightarrow 3t^2+4t-4\geq 0$
$\Leftrightarrow (3t-2)(t+2)\geq 0$
Vì $t>0$ nên $3t-2\geq 0\Rightarrow t\geq \frac{2}{3}$
14 tháng 7 2018
Bài 1 :
Ta có : \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}=\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{3a^2+6ab+3b^2}=\dfrac{9}{3\left(a+b\right)^2}=\dfrac{9}{3.1}=3\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
DA
1
PA
2 tháng 12 2016
Câu 1:
\(Q=a^2+4b^2-10a\)
\(=a^2-10a+25+4b^2-25\)
\(=\left(a-5\right)^2+4b^2-25\)
\(\left(a-5\right)^2\ge0\)
\(4b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-5\right)^2+4b^2-25\ge-25\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\left[\begin{array}{nghiempt}a-5=0\\b=0\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{nghiempt}a=5\\b=0\end{array}\right.\)
\(MinQ=-25\Leftrightarrow a=5;b=0\)
Câu 2:
Tam giác DAC vuông tại D có:
\(AC^2=CD^2+AD^2\)
\(=CD^2+CD^2\) (ABCD là hình vuông)
\(=2CD^2\)
\(=2\times\left(3\sqrt{2}\right)^2\)
\(=2\times9\times2\)
\(=36\)
\(AC=\sqrt{36}=6\left(cm\right)\)
Câu 3:
\(\frac{1}{a-1}=1\)
\(a-1=1\)
\(a=1+1\)
\(a=2\)
Thay a = 2 vào P, ta có:
\(P=\frac{2-2\times2\times b-b}{2\times2+3\times2\times b-b}\)
\(=\frac{2-4b-b}{4+6b-b}\)
\(=\frac{2-5b}{4+5b}\)
N
19 tháng 10 2017
Áp dụng AM-GM: \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le a.\dfrac{b-1+1}{2}+b.\dfrac{a-1+1}{2}=ab\)
\(VT\ge\dfrac{6}{ab}+\sqrt{3ab+4}\)
( dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=2)
Áp dụng cauchy-schwarz:
\(\dfrac{6}{ab}=\dfrac{18}{3ab}+\dfrac{2}{4}-\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{3ab+4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{32}{3ab+4}-\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng AM-GM một lần nữa:
\(VT\ge\dfrac{32}{3ab+4}+\sqrt{3ab+4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{32}{3ab+4}+\dfrac{\sqrt{3ab+4}}{2}+\dfrac{\sqrt{3ab+4}}{2}-\dfrac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{32}{4}}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{2}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=2
P/s: Nothing
30 tháng 5 2023
2:
\(VT=\dfrac{a^2b}{a-b}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}\left(a-b\right)}{5\sqrt{3}\cdot a^2\sqrt{b}}=\dfrac{2}{15}\cdot\sqrt{6b}=VP\)
1: \(=9\sqrt{ab}+\dfrac{7\sqrt{ab}}{b}-\dfrac{5\sqrt{ab}}{a}-3\sqrt{ab}=\)6căn ab+căn ab(7/b-5/a)
=căn ab(6+7/b-5/a)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz\(A=\dfrac{1}{1+3ab+a^2}+\dfrac{1}{1+3ab+b^2}\)
\(A=\dfrac{1}{1+2ab+ab+a^2}+\dfrac{1}{1+3ab+b^2}\)
\(A\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{1+2ab+ab+a^2+1+3ab+b^2}\)
\(A\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2+4ab+2}=\dfrac{4}{3+4ab}\)
Mặt khác theo AM-GM: \(4ab\le\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{3+4ab}\ge\dfrac{4}{3+\left(a+b\right)^2}=\dfrac{4}{3+1}=1\)
\(\Rightarrow A\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Tính ra là lớp 8 luôn ak