cho 2 số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{5}{y^2}\ge9\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=2x^2+\dfrac{6}{x^2}+3y^2+\dfrac{8}{y^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2021
Do \(1\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2\le3x\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(y^2+2\le3y\)
Do đó: \(P\ge\dfrac{x+2y}{3x+3y+3}+\dfrac{2x+y}{3x+3y+3}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)
\(P\ge\dfrac{x+y}{x+y+1}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)
Đặt \(a=x+y-1\Rightarrow1\le a\le3\)
\(\Rightarrow P\ge f\left(a\right)=\dfrac{a+1}{a+2}+\dfrac{1}{4a}\)
\(f'\left(a\right)=\dfrac{3a^2-4a-4}{4a^2\left(a+2\right)^2}=\dfrac{\left(a-2\right)\left(3a+2\right)}{4a^2\left(a+2\right)^2}=0\Rightarrow a=2\)
\(f\left(1\right)=\dfrac{11}{12}\) ; \(f\left(2\right)=\dfrac{7}{8}\) ; \(f\left(3\right)=\dfrac{53}{60}\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge\dfrac{7}{8}\Rightarrow P_{min}=\dfrac{7}{8}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2022
\(x+y\le xy\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le1\)
\(M=\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)+y^2}+\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)+x^2}\le\dfrac{1}{4xy+y^2}+\dfrac{1}{4xy+x^2}\)
\(B\le\dfrac{1}{25}\left(\dfrac{4}{xy}+\dfrac{1}{y^2}\right)+\dfrac{1}{25}\left(\dfrac{4}{xy}+\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{1}{25}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2}{xy}+\dfrac{6}{xy}\right)\)
\(M\le\dfrac{1}{25}\left[\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2+\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\right]=\dfrac{1}{10}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le\dfrac{1}{10}\)
\(M_{max}=\dfrac{1}{10}\) khi \(x=y=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2022
Sử dụng BĐT cộng mẫu:
\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{\left(1+1+1+1+1\right)^2}{xy+xy+xy+xy+y^2}=\dfrac{25}{4xy+y^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4xy+y^2}\le\dfrac{1}{25}\left(\dfrac{4}{xy}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
27 tháng 3 2018
Ta có :
\(Q=\left(2x^2+\dfrac{2}{x^2}\right)+\left(3y^2+\dfrac{3}{y^2}\right)+\left(\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{5}{y^2}\right)\ge2.2+2.3+9=19\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 8 2021
\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=a\Rightarrow0< a\le\dfrac{1}{4}\)
\(P=\dfrac{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-\dfrac{2x}{y}+2}{\dfrac{x}{y}+1}=\dfrac{a^2-2a+2}{a+1}=\dfrac{4a^2-8a+8}{4\left(a+1\right)}=\dfrac{4a^2-13a+3+5\left(a+1\right)}{4\left(a+1\right)}\)
\(P=\dfrac{5}{4}+\dfrac{\left(1-4a\right)\left(3-a\right)}{4\left(a+1\right)}\ge\dfrac{5}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 1 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{2}{x}+\frac{8}{9y}+\frac{18}{25z}\right)(x+y+z)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{\frac{8}{9}}+\sqrt{\frac{18}{25}})^2\)
$\Leftrightarrow A.2\geq \frac{2312}{225}$
$\Leftrightarrow A\geq \frac{1156}{225}$
Vậy $A_{\min}=\frac{1156}{225}$
\(Q=2x^2+\dfrac{2}{x^2}+3y^2+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{5}{y^2}\)
\(Q\ge4+6+9=19\)
###Kaito###