Cho tam giác DEF có 2 đường cao EM và FN cắt nhau tại I.Chứng minh rằng:4 điểm D,M,I,N cùng thuộc 1 đường tròn (giải bằng cách không sử dụng đến tứ giác nội tiếp)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 9 2021
Xét tứ giác DMIN có
\(\widehat{DNI}+\widehat{DMI}=180^0\)
Do đó: DMIN là tứ giác nội tiếp
hay D,M,I,N cùng thuộc một đường tròn
8 tháng 9 2021
a: Xét tứ giác ENMF có
\(\widehat{ENF}=\widehat{EMF}\left(=90^0\right)\)
Do đó: ENMF là tứ giác nội tiếp
b: Xét tứ giác DNIM có
\(\widehat{DNI}+\widehat{DMI}=180^0\)
Do đó: DNIM là tứ giác nội tiếp
8 tháng 9 2021
a, Xét ΔENF vuông tại N
⇒ EF là đường kính của đường tròn có tâm là trung điểm của EF
Xét ΔEMF vuông tại M
⇒ EF là đường kính của đường tròn có tâm là trung điểm của EF
⇒ M,N,E,F cùng thuộc 1 đường tròn đường kính EF
b,Tương tự
6 tháng 9 2021
a: Xét tứ giác ENMF có
\(\widehat{ENF}=\widehat{EMF}=90^0\)
Do đó: ENMF là tứ giác nội tiếp
hay E,N,M,F cùng thuộc 1 đường tròn
b: Xét tứ giác DMIN có
\(\widehat{DNI}+\widehat{DMI}=180^0\)
Do đó: DMIN là tứ giác nội tiếp
hay D,M,I,N cùng thuộc 1 đường tròn
N
10 tháng 9 2021
Cách 1 :
Ta có: ΔDNI vuông tại N
nên ΔDNI nội tiếp đường tròn đường kính DI(1)
Ta có: ΔDMI vuông tại M
nên ΔDMI nội tiếp đường tròn đường kính DI(2)
Từ (1) và (2) suy ra D,M,I,N cùng thuộc 1 đường tròn
Ht , đúng thì k nhé
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
17 tháng 5 2017
a. Tứ giác CEHD có \(\widehat{HEC}=\widehat{HDC}=90^o\Rightarrow\) nó là tứ giác nội tiếp.
b. Tứ giác BFEC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\Rightarrow\)nó là tứ giác nội tiếp. Vậy 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
c. Ta thấy \(\Delta HAE\sim\Delta CAD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AC}=\frac{AE}{AD}\Rightarrow AE.AC=AH.AD\)
Ta thấy \(\Delta CBE\sim\Delta CAD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BC}{AC}=\frac{BE}{AD}\Rightarrow AD.BC=BE.AC\)
d. Ta thấy ngay \(\widehat{PCB}=\widehat{BAM}\) (Cùng phụ với góc ABC)
Mà \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
Vậy nên \(\widehat{PCB}=\widehat{BCM}\) hay CM là phân giác góc \(\widehat{PCB}\)
Lại có \(CM⊥HD\) nên HCM là tam giác cân. Vậy CB là trung trực của HM hay H, M đối xứng nhau qua BC.
e. Ta thấy BFHD là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{FDH}=\widehat{FBH}\) (Góc nội tiếp cùng chẵn cung FH)
DHEC cùng là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{HDE}=\widehat{HCE}\) (Góc nội tiếp cùng chẵn cung HE)
Mà \(\widehat{FBH}=\widehat{HCE}\) ( Cùng phụ với góc \(\widehat{BAC}\) )
nên \(\widehat{FDH}=\widehat{HDE}\) hay DH là phân giác góc FDE.
Tương tự FH, EH cũng là phân giác góc DFE và DEF.
Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF chính là H.
10 tháng 8 2017
1.Xét tứ giác CEHD ta có:
Góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
Góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEC = 900.
CF là đường cao => CF ┴ AB => góc BFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: góc AEH = góc ADC = 900; góc A là góc chung
=> Δ AEH ˜ Δ ADC => AE/AD = AH/AC=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: góc BEC = góc ADC = 900; góc C là góc chung
=> Δ BEC ˜ Δ ADC => AE/AD = BC/AC => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có góc C1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ABC)
góc C2 = góc A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> góc C1 = góc C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ┴ HM => Δ CHM cân tại C
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn
=> góc C1 = góc E1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
góc C1 = góc E2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
góc E1 = góc E2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
10 tháng 8 2017
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEA = 900.
AD là đường cao => AD ┴ BC => BDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 900.
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1/2 BC.
4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => góc E1 = góc A1 (1).
Theo trên DE = 1/2 BC => tam giác DBE cân tại D => góc E3 = góc B1 (2)
Mà góc B1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ACB) => góc E1 = góc E3 => góc E1 + góc E2 = góc E2 + góc E3
Mà góc E1 + góc E2 = góc BEA = 900 => góc E2 + góc E3 = 900 = góc OED => DE ┴ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ↔ ED2 = 52 – 32 ↔ ED = 4cm
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
20 tháng 12 2017
Câu hỏi của hungbck5 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo tại đây nhé.
NT
13 tháng 3 2016
a)HEC+HDC=180 => .......
b)BFC=BEC=90 =>tứ giác FEAC noi tiep => .....
NT
13 tháng 3 2016
c)
- AE*AC=AH*AD thì cm tam giác AEB dong dang tam giác AFC
- 2*S abc = AD*BC=BE*AC
Ta có: ΔDNI vuông tại N
nên ΔDNI nội tiếp đường tròn đường kính DI(1)
Ta có: ΔDMI vuông tại M
nên ΔDMI nội tiếp đường tròn đường kính DI(2)
Từ (1) và (2) suy ra D,M,I,N cùng thuộc 1 đường tròn