cho 2 số ko âm a,b
CMR: \(a+4b\ge\frac{16ab}{1+4ab}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
JY
1
RD
25 tháng 3 2019
Nên bổ sung thêm đk a,b không âm
\(a+4b\ge\frac{16ab}{1+4ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\)
AM-GM:\(a+4b\ge4\sqrt{ab};1+4ab\ge4\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\left(đpcm\right)\)
TN
11 tháng 5 2018
Từ \(a+b=4ab\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\)
\(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b}\right)\rightarrow\left(x;y\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\\frac{x^2}{4y+x^2y}+\frac{y^2}{4x+xy^2}\ge\frac{1}{2}\end{cases}}\)
C-S: \(VT\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)}\)\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+\left(x+y\right)\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{1}{2}\)
G
23 tháng 2 2019
\(a+b=4ab\le\left(a+b\right)^2\)
\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}=\frac{a^2}{4b^2a+a}+\frac{b^2}{4a^2b+b}\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
HK
27 tháng 6 2020
\(a+b=4ab\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\Rightarrow4\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow a+b\ge1\)
\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}=\frac{a\left(4b^2+1\right)-4ab^2}{4b^2+1}+\frac{b\left(4a^2+1\right)-4a^2b}{4a^2+1}\)
\(=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}+b-\frac{4a^2b}{4a^2+1}\)
\(=a+b-\left(\frac{ab^2}{4b^2+1}+\frac{4a^2b}{4a^2+1}\right)\)
\(\ge a+b-\left(\frac{4ab^2}{4b}+\frac{4a^2b}{4a}\right)=a+b-2ab\)
Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le-2ab\)
\(\Rightarrow a+b-2ab\ge a+b-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 5 2021
\(\dfrac{9}{4}=ab+a+b+1\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+a+b+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-1\right)\left(a+b+5\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b-1\ge0\) (do \(a+b+5>0\))
\(\Rightarrow a+b\ge1\)
b.
\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.1^2=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
17 tháng 2 2019
\(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}=\dfrac{a\left(4b^2+1\right)}{4b^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{b\left(4a^2+1\right)}{4a^2+1}-\dfrac{4a^2b}{4b^2+1}\)
\(\ge a-\dfrac{4ab^2}{4b}+b-\dfrac{4a^2b}{4a}\) (bđt Cô-si)
=a-ab+b-ab=a+b-2ab=4ab-2ab=2ab
Lại có a+b=4ab \(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\ge\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}\Rightarrow4\sqrt{ab}\ge2\Rightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2ab\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
17 tháng 2 2019
\(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a-\dfrac{a}{4b^2+1}+b-\dfrac{b}{4a^2+1}\le a+b-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{4ba^2}{4a^2+1}\le4ab-\dfrac{1}{2}\)
\(\sum\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}\le^{CS}2ab\)
\(\Rightarrow CM:2ab\le4ab-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
Từ GT \(\Rightarrow4ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Với a,b không âm,áp dụng CAUCHY 2 lần ta có
\(a+4b\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\)(1)
\(1+4ab\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\)(2)
Nhân 2 vế của (1) và (2) ta có:\(\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\)
Lại chia cả 2 vế cho (1+4ab) ta được điều cần cminh...
các bạn ơi **** mình cái mình đang cần khôi phục ****