\(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\le2-\dfrac{x^2}{4}\)
giai bpt
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 2 2021
ĐKXĐ: \(x>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x\left(x^2+1\right)}}-\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}\left(\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x}}-1\right)+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x}}.\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\) (luôn đúng \(\forall x>0\))
Vậy nghiệm của BPT đã cho là \(x>0\)
12 tháng 8 2018
\(-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}< \dfrac{1}{5}\left(x\ge0\right)\)
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}2>0\\-\left(\sqrt{x}+1\right)< 0\forall x\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}< 0< \dfrac{1}{5}\)
Vậy , phương trình nghiệm đúng với mọi : \(x\ge0\)
DF
0
HN
3 tháng 10 2017
\(A=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+\dfrac{1}{4}xy+y^2}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{y^2+\dfrac{1}{4}yz+z^2}}+\sqrt{\dfrac{z^2}{z^2+\dfrac{1}{4}zx+x^2}}\le2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{y}{4x}+\dfrac{y^2}{x^2}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{z}{4y}+\dfrac{z^2}{y^2}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{4z}+\dfrac{x^2}{z^2}}}\le2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y}{x}=a\\\dfrac{z}{y}=b\\\dfrac{x}{z}=c\end{matrix}\right.\) thì bài toán thành
Chứng minh: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}}\le1\) với \(abc=1\)
Thử giải bài toán mới này xem sao bác.
3 tháng 10 2017
*C/m bài toán mới của HUngnguyen
Ta có BĐT phụ \(\dfrac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}\le\dfrac{a+1}{2\left(a^2+a+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\left(4a^2+a+4\right)\ge4\left(a^2+a+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2\ge0\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}\le\dfrac{b+1}{2\left(b^2+b+1\right)};\dfrac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}}\le\dfrac{c+1}{2\left(c^2+c+1\right)}\)
CỘng theo vế 3 BĐT trên ta có;
\(VT\le1=VP\) * Chỗ này tự giải chi tiết ra nhé, giờ bận rồi*
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 2 2021
ĐKXĐ: \(x^2\ge2\)
Đặt \(\sqrt{x^2-2}=a\ge0\)
BPT tương đương: \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3a^2+11}}\le\dfrac{2}{a+1}\)
Ta có: \(VT^2\le2\left(\dfrac{1}{a^2+3}+\dfrac{1}{3a^2+11}\right)< 2\left(\dfrac{1}{a^2+3}+\dfrac{1}{3a^2+1}\right)=\dfrac{8\left(a^2+1\right)}{\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)}\)
Mặt khác ta có: \(\left(a-1\right)^4\ge0\Leftrightarrow a^4-4a^3+6a^2-4a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow3a^4+10a^2+3\ge2a^4+4a^3+4a^2+4a+2\)
\(\Leftrightarrow\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)\ge2\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{8\left(a^2+1\right)}{\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)}\le\dfrac{4}{\left(a+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT^2< \dfrac{4}{\left(a+1\right)^2}\Rightarrow VT< \dfrac{2}{a+1}\)
\(\Rightarrow\) BPT đã cho đúng với mọi \(a\ge0\) hay nghiệm của BPT là \(x^2\ge2\)
ĐKXĐ:\(-1\le x\le1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+x}=a\\\sqrt{1-x}=b\end{matrix}\right.\left(a;b\ge0\right)\)
Khi đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=2\\x^2=1-ab\end{matrix}\right.\). Thay vào bpt ta có:
\(a+b\le a^2+b^2-\frac{1-ab}{4}\)
Có:\(\left(a+b\right)^2-\frac{7}{4}ab-\frac{1}{4}=\left(a+b\right)^2-\frac{7}{4}\left(\frac{\left(a+b\right)^2-2}{2}\right)-\frac{1}{4}=\left(a+b\right)^2-\frac{7}{8}\left(a+b\right)^2+\frac{7}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{2}\)bpt <=>\(\frac{1}{8}\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+\frac{3}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-8\left(a+b\right)+12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-6\right)\left(a+b-2\right)\ge0\left(1\right)\)
Có: \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2< 6\)
=> bpt (1) đúng \(\forall x\in\left[-1;1\right]\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [-1;1]