Question

[Ngọc Hạnh]

cho tam giác ABC, một điểm M tùy ý trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, Ac, AB tại D,E, F. Chứng minh rằng: \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BM}{BE}+\dfrac{CM}{CF}\) là hằng số

Answer 1

[Phương Ann]

• Đặt \(S_{ABC}=S;S_{MBC}=S_1;S_{MAC}=S_2;S_{MAB}=S_3\)

• Dựng MK ⊥ BC và AH ⊥ BC

⇒ MK // AH

\(\Rightarrow\dfrac{MD}{AD}=\dfrac{MK}{AH}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times MK\times BC}{\dfrac{1}{2}\times AH\times BC}=\dfrac{S_1}{S}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AD}=1-\dfrac{MD}{AD}=1-\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{S_2+S_3}{S}\)

• Tương tự, ta cũng có: \(\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{S_1+S_3}{S};\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{S_1+S_2}{S}\)

• Cộng vế theo vế, ta có:

\(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BM}{BE}+\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{2\left(S_1+S_2+S_3\right)}{S}=2=const\)

Vậy ta có đpcm.