Cho a,b,c là các số dương có tích bằng 1. Tìm Min của :
\(B=\dfrac{5bc}{a^2b+a^2c}+\dfrac{5ac}{b^2a+b^2c}+\dfrac{5ab}{c^2b+c^2a}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{a}{a+2b^3}=a-\dfrac{2ab^3}{a+b^3+b^3}\ge a-\dfrac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}=a-\dfrac{2}{3}.b\sqrt[3]{a^2}\ge a-\dfrac{2}{9}b\left(a+a+1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+2b^3}\ge a-\dfrac{2}{9}\left(2ab+b\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{b+2c^3}\ge b-\dfrac{2}{9}\left(2bc+c\right)\) ; \(\dfrac{c}{c+2a^3}\ge c-\dfrac{2}{9}\left(2ac+a\right)\)
Cộng vế:
\(A\ge a+b+c-\dfrac{2}{9}\left(2ab+2bc+2ca+a+b+c\right)=3-\dfrac{2}{9}\left[2\left(ab+bc+ca\right)+3\right]\)
\(A\ge3-\dfrac{2}{9}\left[\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2+3\right]=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(B=\frac{5bc}{a^2b+a^2c}+\frac{5ac}{b^2a+b^2c}+\frac{5ab}{c^2b+c^2a}\)
\(B=5\left(\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\right)\)\(\geq 5\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
hay \(B\geq \frac{5}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\) do \(abc=1\)
Suy ra \(B\geq \frac{15}{2}\Leftrightarrow B_{\min}=\frac{15}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)