Cho a,b > 0. Chứng minh \(\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}\ge28\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
4
20 tháng 2 2018
https://tranvantoancv.violet.vn/present/show/entry_id/10776977
6 tháng 1 2019
Với x,y,z >0, ta có:
-\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) (1)
-\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) (2)
-\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\ge1\)(3)
Xảy ra đẳng thức ở (1),(2),(3) \(\Leftrightarrow x=y=z\), ta có:
\(P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a+b+c\right)^2.\frac{a+b+c}{abc}\)
=\(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right).\frac{\left(a+b+c\right)}{abc}\)
Áp dụng các bất đẳng thức (1),(2),(3). ta có:
\(P\)\(\ge\)\(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a^2+b^2+c^2\right).\frac{9}{ab+bc+ca}+2.9\)
=\(\left(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)+8.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+18\)\(\ge2+8+18=28\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\\ab=bc=ca\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
BN
1
VT
12 tháng 10 2019
đặt biểu thức là P
2P+1 =\(\frac{2ab+2bc+2ca}{a^2+b^2+c^2}+1+\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{abc}=\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{abc}\)
\(\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\right).\)(1)
Áp dụng bdt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)dấu '=' khi x=y=z
(1) \(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{ab+bc+ca}\right)\)(2)
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}.\)
=> (2)\(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{16}{ab+bc+ca}\right)=\)\(9+\frac{16\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge9+16.3=57\)
vì a2+b2+c2\(\ge ab+bc+ca< =>a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> (a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)
vậy 2P+1\(\ge57< =>P\ge28\)
dấu '=' khi a=b=c
TN
0
12 tháng 4 2017
AM-GM ngược dấu như sau:
\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{2b-c}{3};\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{2a-b}{3}+\dfrac{2b-c}{3}+\dfrac{2c-a}{3}=\dfrac{a+b+c}{3}=VP\)
12 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+ca^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)
Dễ thấy :
\(a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab(b+c)+bc(b+c)+ca(c+a)=(a^{2}+ b^{2}+c^{2})(a+b+c)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
Vậy cần chứng minh
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\ge\dfrac{a+b+c}{3}\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (luôn đúng)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 11 2018
Lời giải:
Vì $a+b+c=1$ nên:
\(a^2+b^2+abc-1=(a+b)^2-2ab+abc-1\)
\(=(a+b)^2-1+ab(c-2)=(1-c)^2-1+ab(c-2)\)
\(=-c(2-c)+ab(c-2)=c(c-2)+ab(c-2)=(c+ab)(c-2)\)
Do đó:
\(\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}=\frac{c+ab}{(c+ab)(c-2)}=\frac{1}{c-2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, suy ra:
\(\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}+\frac{a+bc}{b^2+c^2+abc-1}+\frac{b+ac}{a^2+c^2+abc-1}=\frac{1}{c-2}+\frac{1}{a-2}+\frac{1}{b-2}=\frac{(a-2)(b-2)+(b-2)(c-2)+(c-2)(a-2)}{(a-2)(b-2)(c-2)}\)
\(=\frac{ab+bc+ac-4(a+b+c)+12}{(a-2)(b-2)(c-2)}=\frac{ab+bc+ac+8}{(a-2)(b-2)(c-2)}\)
Ta có đpcm.
HN
28 tháng 9 2017
Áp dụng bổ đề:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\)
\(\le\dfrac{20b^3-ab\left(a+b\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{20c^3-bc\left(b+c\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{20a^3-ca\left(c+a\right)}{ac+5a^2}\)
\(=\dfrac{b\left(4b-a\right)\left(5b+a\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{c\left(4c-b\right)\left(5c+b\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{a\left(4a-c\right)\left(5a+c\right)}{ac+5a^2}\)
\(=4b-a+4c-b+4a-c=3\left(a+b+c\right)\)
TK
28 tháng 9 2017
Pls tìm trước khi hỏi $$\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac ...
Cho a,b,c>0.Cm:(19b^3-a^3)/(ab+5b^2)+ - Trường Toán Pitago – Hướng dẫn ...
C/m bất đẳng thức khó cho hsg
C/m bất đẳng thức khó cho hsg | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập ...
Cho a,b,c >0 và a+b+c=1.CMR (19b^3-a^3)/(ba+5b^2)+(19c^3-b^3)/(cb ...
Câu hỏi của Anh đẹp traiii - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Học tại nhà - Toán - Chứng minh đẳng thức
Bất đẳng thức - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ ...
Bất đẳng thức
Đề thi HSG 12 THPT An Lão, Hải Phòng - Diễn Đàn MathScope
giúp tớ bài toán Cm 9 này với! hu hu!? | Yahoo Hỏi & Đáp
VMF,HMF,k2pi, mathscope,... đủ cả
N
1 tháng 10 2017
Fix đề: Cho a,b,c không âm. Chứng minh \(\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\dfrac{4}{ab+bc+ca}\)
Dự đoán điểm rơi sẽ có 1 số bằng 0.
Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\) ( c là số nhỏ nhất trong 3 số) thì \(c\ge0\)
do đó \(ab+bc+ca\ge ab\) và \(\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge\dfrac{1}{b^2};\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}=\dfrac{1}{\left(a-c\right)^2}\ge\dfrac{1}{a^2}\)
BDT cần chứng minh tương đương
\(ab\left[\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right]\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2\ge4\)
BĐT trên hiển nhiên đúng theo AM-GM.
Do đó ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi c=0 , \(\left(a-b\right)^2=a^2b^2\) ( và các hoán vị )
Em nhớ mình đã làm bài này rồi mà sao nó ko hiển thì nhỉ:) Lười gõ lại nên copy bên AoPS luôn!
Equality holds when a = b = c
Link gốc: Inequality 99 (câu trả lời của SBM)
SMB = tth đấy:)) Ko phải ai khác đâu:)