Question

[Beautiful Angel]

Mn ui giúp mk câu này bất vs ạ. Tks <3 <3

Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:

\(\sum\dfrac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}\ge\sum\dfrac{1}{a}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a^4+b^4)(a^2+b^2)\geq (a^3+b^3)^2\)

\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{(a^3+b^3)^2}{ab(a^3+b^3)(a^2+b^2)}=\frac{a^3+b^3}{ab(a^2+b^2)}(1)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a^3+b^3)(a+b)\geq (a^2+b^2)^2\)

Mà theo hệ quả BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\)

Suy ra \((a^3+b^3)(a+b)\geq (a^2+b^2)\frac{(a+b)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\geq \frac{(a+b)(a^2+b^2)}{2}(2)\)

Từ (1); (2) suy ra \(\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{a^3+b^3}{ab(a^2+b^2)}\geq \frac{a+b}{2ab}\)

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:

\(\sum \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{a+b}{2ab}+\frac{b+c}{2bc}+\frac{a+c}{2ac}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 2

[Beautiful Angel]

E cảm ơn nhiều ạ. Mong thầy cô giúp đỡ e thêm. E yếu phần bđt ạ