Question

[༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻]

Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A = (n-2010)(n-2011)(n-2012) là số chính phương

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Nếu \(n<2010\Rightarrow A<0\) (không thể là số chính phương)

Nếu \(n=2010,2011\Rightarrow A=0\in \text{scp}\) (thỏa mãn)

Nếu \(n\geq 2012\)

Đặt \(n-2012=a(a\geq 0)\). Khi đó:\(A=a(a+1)(a+2)\)

\(\Leftrightarrow A=(a^2+2a)(a+1)\)

Gọi \(d=\text{ƯCLN}(a^2+2a, a+1)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+2a\vdots d\\ a+1\vdots d\rightarrow a^2+a\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+2a-(a^2+a)\vdots d\Leftrightarrow a\vdots d\)

Mà \(a+1\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\)

Hay \(a^2+2a, a+1\) nguyên tố cùng nhau. Do đó để \((a^2+2a)(a+1)\) là một số chính phương thì $a^2+2a$ và $a+1$ là những số chính phương.

Đặt \(a^2+2a=t^2\Leftrightarrow a(a+2)=t^2\)

Nếu \(a\) lẻ. Dễ thấy \((a,a+2)\) nguyên tố cùng nhau. Do đó bản thân mỗi số là một số chính phương.\(\Rightarrow a=m^2; a+2=n^2(m,n\in\mathbb{N})\)

\(\Rightarrow 2=n^2-m^2=(n-m)(n+m)\)

Vì \(n+m\geq n-m>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-m=1\\ n+m=2\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n=3\Rightarrow n\not\in\mathbb{N}\)

(loại)

Nếu $a$ chẵn. Đặt \(a=2x\Rightarrow a(a+2)=t^2\Leftrightarrow 4x(x+1)=t^2\)

\(\Leftrightarrow x(x+1)=\left(\frac{t}{2}\right)^2\)

Dễ thấy $(x,x+1)$ nguyên tố cùng nhau. Do đó để tích hai số đó là một số chính phương thì bản thân mỗi số là số chính phương.

\(\Rightarrow x=m^2; x+1=n^2 (m,n\in\mathbb{N})\)

\(\Rightarrow 1=(n-m)(n+m)\)

Vì \(n+m\geq n-m>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-m=1\\ n+m=1\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n=2\Rightarrow n=1\)

\(\Rightarrow x=0\Rightarrow a=0\)

Khi $a=0$ thì $a+1=1$ cũng là số chính phương (thỏa mãn)

Do đó \(n=2012\)

Vậy \(n\in\left\{2010; 2011; 2012\right\}\)