Giải pt :
\(cos^3x-sin^3x=cos2x\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
1
5 tháng 9 2021
a, (sinx + cosx)(1 - sinx . cosx) = (cosx - sinx)(cosx + sinx)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\\cosx-sinx=1-sinx.cosx\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\\cosx+sinx.cosx-1-sinx=0\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\\\left(cosx-1\right)\left(sinx+1\right)=0\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\cosx=1\\sinx=-1\end{matrix}\right.\)
b, (sinx + cosx)(1 - sinx . cosx) = 2sin2x + sinx + cosx
⇔ (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx - 1) = 2sin2x
⇔ (sinx + cosx).(- sinx . cosx) = 2sin2x
⇔ 4sin2x + (sinx + cosx) . sin2x = 0
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sin2x=0\\\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+4=0\end{matrix}\right.\)
⇔ sin2x = 0
c, 2cos3x = sin3x
⇔ 2cos3x = 3sinx - 4sin3x
⇔ 4sin3x + 2cos3x - 3sinx(sin2x + cos2x) = 0
⇔ sin3x + 2cos3x - 3sinx.cos2x = 0
Xét cosx = 0 : thay vào phương trình ta được sinx = 0. Không có cung x nào có cả cos và sin = 0 nên cosx = 0 không thỏa mãn phương trình
Xét cosx ≠ 0 chia cả 2 vế cho cos3x ta được :
tan3x + 2 - 3tanx = 0
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}tanx=1\\tanx=-2\end{matrix}\right.\)
d, cos2x - \(\sqrt{3}sin2x\) = 1 + sin2x
⇔ cos2x - sin2x - \(\sqrt{3}sin2x\) = 1
⇔ cos2x - \(\sqrt{3}sin2x\) = 1
⇔ \(2cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1\)
⇔ \(cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}=cos\dfrac{\pi}{3}\)
e, cos3x + sin3x = 2cos5x + 2sin5x
⇔ cos3x (1 - 2cos2x) + sin3x (1 - 2sin2x) = 0
⇔ cos3x . (- cos2x) + sin3x . cos2x = 0
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sin^3x=cos^3x\\cos2x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=cosx\\cos2x=0\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\cos2x=0\end{matrix}\right.\)
16 tháng 6 2021
\(sin^3x+cos^3x-sinx-cosx=cos2x\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(sin^2x-sinx.cosx+cos^2x\right)-\left(sinx+cosx\right)-\left(cos^2x-sin^2x\right)\)\(=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(1-sinx.cosx\right)-\left(sinx+cosx\right)-\left(cosx+sinx\right)\left(cosx-sinx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(sinx-cosx-sinx.cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(1\right)\\sinx-cosx-sinx.cosx=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
TH1: (1)\(\Leftrightarrow\sqrt{2}.sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\left(k\in Z\right)\)
TH2: Đặt \(t=sinx-cosx\) ;\(t\in\left(-2;2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{t^2-1}{2}=-sinx.cosx\)
Pt (2)\(\Rightarrow t+\dfrac{t^2-1}{2}=0\)\(\Leftrightarrow t^2+2t-1=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1+\sqrt{2}\left(tm\right)\\t=-1-\sqrt{2}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow sinx-cosx=-1+\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow\sqrt{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}+1\)
\(\Leftrightarrow cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{4}+arc.cos\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}+k2\pi\\x=\dfrac{-\pi}{4}-arc.cos\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)(\(k\in\)\(Z\))
Vậy...
DT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 10 2020
Lời giải:
ĐKXĐ: ...............
PT \(\Leftrightarrow \frac{(\sin x-\cos x)(\sin ^2x+\sin x\cos x+\cos ^2x)}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}=-2(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)\)
\(\Leftrightarrow (\sin x-\cos x)\left[\frac{\sin ^2x+\sin x\cos x+\cos ^2x}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}+2(\sin x+\cos x)\right]=0\)
Dễ thấy với $\sin x, \cos x\geq 0$ thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn lớn hơn $0$
Do đó:
$\sin x-\cos x=0$
$\Leftrightarrow \sin x=\cos x$
Mà $\sin ^2x+\cos ^2x=1; \sin x, \cos x\geq 0$ nên $\sin x=\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow x=k\pi -\frac{7}{4}\pi$ với $k$ nguyên.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 8 2020
d/ ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\frac{\left(cosx-sinx\right)\left(cos^2x+sin^2x+sinx.cosx\right)}{2cosx+3sinx}=cos^2x-sin^2x\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(cosx-sinx\right)\left(1+sinx.cosx\right)}{2cosx+3sinx}=\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx-sinx=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\\frac{1+sinx.cosx}{2cosx+3sinx}=sinx+cosx\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow1+sinx.cosx=\left(sinx+cosx\right)\left(2cosx+3sinx\right)\)
\(\Leftrightarrow1+sinx.cosx=2sin^2x+3cos^2x+5sinx.cosx\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x+3cos^2x+4sinx.cosx-1=0\)
Nhận thấy \(cosx=0\) ko phải nghiệm, chia 2 vế cho \(cos^2x\)
\(2tan^2x+3+4tanx-1-tan^2x=0\)
\(\Leftrightarrow tan^2x+4tanx+2=0\)
\(\Leftrightarrow tanx=-2\pm\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x=arctan\left(-2\pm\sqrt{2}\right)+k\pi\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 8 2020
c/
\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+4cosx\right)=4\left(sinx-cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+4cosx-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx-cosx=0\left(1\right)\\sinx+4cosx-4=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1) \(\Leftrightarrow sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)
Xét (2) \(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{17}}sinx+\frac{4}{\sqrt{17}}cosx=\frac{4}{\sqrt{17}}\)
Đặt \(\frac{4}{\sqrt{17}}=cosa\) với \(a\in\left(0;\pi\right)\)
\(\Rightarrow cosx.cosa+sinx.sina=cosa\)
\(\Leftrightarrow cos\left(x-a\right)=cosa\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-a=a+k2\pi\\x-a=-a+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2a+k2\pi\\x=k2\pi\end{matrix}\right.\)
7 tháng 4 2020
a) Ta có : \(sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)=cos2x\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)=sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi\\x-\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{2}+2x+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{7\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3}\\x=-\frac{7\pi}{6}-k2\pi\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
TO
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 8 2020
\(\Leftrightarrow sin^3x+cos^3x=2\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^3x+cos^3x\right)-2sin^2x.cos^3x-2sin^3x.cos^2x\)
\(\Leftrightarrow sin^3x+cos^3x-2sin^2x.cos^2x\left(sinx+cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(1-sinx.cosx\right)-2sin^2x.cos^2x\left(sinx+cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(1-\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}sin^22x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cos=0\\1-\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}sin^22x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\\sin2x=1\\sin2x=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=\frac{\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\)
HP
23 tháng 8 2021
2.
\(sin3x+cos2x=1+2sinx.cos2x\)
\(\Leftrightarrow sin3x+cos2x=1+sin3x-sinx\)
\(\Leftrightarrow cos2x+sinx-1=0\)
\(\Leftrightarrow-2sin^2x+sinx=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\sinx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
HP
23 tháng 8 2021
1.
\(cos3x-cos4x+cos5x=0\)
\(\Leftrightarrow cos3x+cos5x-cos4x=0\)
\(\Leftrightarrow2cos4x.cosx-cos4x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2cosx-1\right)cos4x=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\dfrac{1}{2}\\cos4x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\4x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{4}\end{matrix}\right.\)
\(cos^3x-sin^3x=cos2x\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right).\left(1+cosx.sinx\right)=cos^2x-sin^2x\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right).\left[\left(1+cosx.sinx\right)-\left(cosx+sinx\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx-sinx=0\left(1\right)\\1+cosx.sinx-\left(cosx+sinx\right)=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
(1): \(cosx-sinx=0\)
\(\Leftrightarrow tanx=1\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\left(k\in Z\right)\)
(2): \(1+cosx.sinx-\left(cosx+sinx\right)=0\)
Đặt \(cosx+sinx=t,t\in\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\)
\(\rightarrow sinx.cosx=\dfrac{t^2-1}{2}\)
\(pt\Leftrightarrow1+\dfrac{1^2-1}{2}-t=0\)
\(\Leftrightarrow2+t^2-1-2t=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-2t+1=0\)
\(\Leftrightarrow t=1\left(tm\right)\)
Với t = 1 \(\Rightarrow cosx+sinx=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}.sin.\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow sin.\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow sin.\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{matrix}\right.\left(k\in Z\right)\)