CMR:Với a,b dương thì \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 8 2020
\(D=\sqrt{2+1-2\sqrt{2}}-\sqrt{2+1+2\sqrt{2}}\)
\(D=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}\)
\(D=\sqrt{2}-1-\left(\sqrt{2}+1\right)\)
\(D=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}-1\)
\(D=-2\)
12 tháng 8 2020
CÂU THỨ 2 NHA !!!!!!
XÉT: \(2VT=2a\sqrt{b-1}+2b\sqrt{a-1}\)
=> \(2VT=a.2.\sqrt{1}.\sqrt{b-1}+b.2.\sqrt{1}.\sqrt{a-1}\)
TA ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 2 SỐ SẼ ĐƯỢC:
=> \(2VT\le a\left(1+b-1\right)+b\left(1+a-1\right)\)
=> \(2VT\le ab+ab\)
=> \(2VT\le2ab\)
=> \(VT\le ab\)
=> TA CÓ ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH.
NC
13 tháng 8 2020
Bài làm:
Ta có: \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}\)
\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{2b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a+2\sqrt{ab}-b+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
=> đpcm
13 tháng 8 2020
Ta có: \(VT=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a+2\sqrt{ab}-b+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4b+4\sqrt{ab}}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{b}\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}{2\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=VP\)(đpcm)
12 tháng 8 2020
\(D=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}\)
\(=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}-1=-2\)
___
Ta có: \(\left(\sqrt{a-1}-1\right)^2\ge0\forall a\ge1\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a-1}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1}{2}\)
Tương tự: \(\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le1\)
\(\Leftrightarrow b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}\le ab\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)
BH
1
6 tháng 11 2018
Nhận thấy \(a+b< a+b+2\sqrt{ab}\)<=>\(a+b< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
Do a,b đều dương, lấy căn 2 vế ta được:
\(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)
Chúc bạn học tốt!
NP
1
2 tháng 11 2015
\(0<2\sqrt{ab}\) cộng 2 vế với a+ b
a+b< a+b+ 2.căn(ab)
\(a+b<\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
lấy căn 2 vế là xong
\(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\\ \Rightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\\ \Rightarrow a+b< a+2\sqrt{ab}+b\\ \Rightarrow2\sqrt{ab}>0\\ \Rightarrow\sqrt{ab}>0\)
Luôn đúng với a;b dương
=> đpcm