Chứng minh OI vuông góc với MN I M N ...
Đọc tiếp
Chứng minh OI vuông góc với MN
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 1 2023
a: Xét ΔOMB và ΔONA có
OM=ON
góc O chung
OB=OA
Do đó: ΔOMB=ΔONA
=>MB=NA
Xét ΔIMA và ΔINB có
góc IMA=góc INB
MA=NB
góc IAM=góc IBN
Do đó: ΔIMA=ΔINB
=>AI=BI
b: Xét ΔOIA và ΔOIB có
OI chung
IA=IB
OA=OB
Do đo: ΔOIA=ΔOIB
=>góc AOI=góc BOI
=>OI là phân giác của góc xOy
c: ΔOMN cân tại O
mà OI là đường phân giác
nen OI vuông góc với MN
29 tháng 10 2021
a: Xét (O) có
ΔBNC nội tiếp đường tròn
BC là đường kính
Do đó: ΔBNC vuông tại N
Xét (O) có
ΔBMC nội tiếp đường tròn
BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
Xét ΔABC có
BN là đường cao
CM là đường cao
BN cắt CM tại H
Do đó: AH\(\perp\)BC
4 tháng 2 2019
Gọi E là điểm đối xứng với A qua đường thẳng OI. Tia AI cắt (O) tại D khác A. DE giao BC tại F.
Ta thấy \(\Delta\)MIN và \(\Delta\)AIE cân tại I có ^IMN = ^IAE (Vì MN // AE vuông góc OI) => ^MIN = ^AIE => I,N,E thẳng hàng.
=> MN là đường trung bình \(\Delta\)AIE => AE = 2.MN, IE = 2.IN
Ta có: AE // IK (Cùng vuông góc OI) => ^KIE = ^IEA = ^IAE = ^BAE - ^BAD = ^BDx - ^DBC = ^BFD = ^KFE
=> Tứ giác KEIF nội tiếp => ^KEI = ^BFI (1)
Mặt khác: \(\Delta\)DFC ~ \(\Delta\)DCE (g.g) => DC2 = DF.DE => DI2 = DF.DE => \(\Delta\)DFI ~ \(\Delta\)DIE (c.g.c)
=> ^DFI = ^DIE = 2.^IAE = 2.^BFD (Vì ^IAE = ^BFD) => ^KIE = ^BFI (2)
Từ (1) và (2) => ^KIE = ^KEI => \(\Delta\)IKE cân tại K. Từ đó: \(\Delta\)IKE ~ \(\Delta\)AIE (g.g) => IE2 = IK.AE
Dễ thấy MJ là đường trung bình \(\Delta\)AIK => IK = 2.MJ. Kết hợp với AE = 2.MN (cmt)
Suy ra: IE2 = 4.MJ.MN hay AI2 = 4.MJ.MN => 4.MA2 = 4.MJ.MN => MA2 = MJ.MN => \(\Delta\)MJA ~ \(\Delta\)MAN (c.g.c)
=> ^MJA = ^MAN. Tương tự thì ^MJI = ^MIN => ^MJA + ^MJI = ^MAN + ^MIN => ^AJI = 1800 - ^ANI
Lại có: H là trực tâm \(\Delta\)AIN => ^AHI = 1800 - ^ANI. Do đó: ^AHI = ^AJI => Tứ giác AIHJ nội tiếp
=> ^AJH + ^AIH = 1800 <=> ^MJA + ^MJH + 900 - ^IAN = ^MJH + 900 = 1800 => ^MJH = 900
=> JH vuông góc MN. Mà OI cũng vuông góc MN nên JH // OI (đpcm).
31 tháng 12 2023
a: Xét tứ giác MNFE có MN//FE
nên MNFE là hình thang
=>\(\widehat{MNF}+\widehat{NFE}=180^0\)(1)
Xét (O) có
M,N,F,E cùng thuộc (O)
nên MNFE là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{MNF}+\widehat{MEF}=180^0\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MEF}=\widehat{NFE}\)
Hình thang MNFE có \(\widehat{MEF}=\widehat{NFE}\)
nên MNFE là hình thang cân
b: Xét (O) có
MN,EF là các dây
MN=EF
Do đó: \(sđ\stackrel\frown{ME}=sđ\stackrel\frown{NF}\)
Xét (O) có
\(\widehat{FMN}\) là góc nội tiếp chắn cung NF
\(\widehat{MNE}\) là góc nội tiếp chắn cung ME
\(sđ\stackrel\frown{ME}=sđ\stackrel\frown{NF}\)
Do đó: \(\widehat{FMN}=\widehat{MNE}\)
=>\(\widehat{IMN}=\widehat{INM}\)
=>ΔIMN cân tại I
=>IM=IN
=>I nằm trên đường trung trực của MN(3)
Ta có: OM=ON
=>O nằm trên đường trung trực của MN(4)
Từ (3) và (4) suy ra OI là đường trung trực của MN
=>OI\(\perp\)MN
Xét (O) có
OI là một phần đường kính
MN là dây
I là trung điểm của MN
Do đó: OI\(\perp\)MN