Cho 2 số dương a,b thỏa mãn a+b=4. Tính GTNN cuả P= (1+a+1/a)3+(1+b+1/b)3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 11 2017
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24
⇒P⩾49(9a−24+9b−24)−3(a+b)24=(a+b)−94−3(a+b)24.
đặt t=a+b(0<t<1)⇒P≥F(t)=−3t24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13
N
11 tháng 9 2019
1a
\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)
\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)
N
11 tháng 9 2019
1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)
\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
26 tháng 4 2018
\(P=\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge\frac{9}{3+ab+ac+bc}\ge\frac{9}{3+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
17 tháng 5 2018
dựa vào BĐT nào để suy ra \(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge\frac{9}{3+ab+bc+ac}\)vậy bạn ??
5 tháng 9 2018
\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=\frac{16}{4}=4\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2021
Lần sau bạn chú ý viết đề bằng công thức toán
Lời giải:
$P=1-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$
$=1-\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$
$=1-\frac{(a+b)^2-2ab}{a^2b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$
$=1-\frac{1-2ab}{a^2b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$
$=1+\frac{2}{ab}$
Áp dụng BĐT Cô-si:
$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{2}{ab}\geq 8$
$\Rightarrow P=1+\frac{2}{ab}\ge 9$
Vậy $P_{\min}=9$ khi $a=b=\frac{1}{2}$
20 tháng 3 2016
\(2x+8y+21z\leq 12xyz\Rightarrow 3z\geq \frac{2x+8y}{4xy-7}\Rightarrow P\geq x+2y+\frac{2x+8y}{4xy-7}=x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{2x}\left [ (4xy-7)+\frac{4x^{2}+28}{4xy-7} \right ]\geq x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{x}\sqrt{4x^{2}+28}=x+\frac{11}{2x}+\frac{3}{2}\sqrt{\left ( 1+\frac{7}{9} \right )\left ( 1+\frac{7}{x^{2}} \right )}\geq x+\frac{11}{2x}+\frac{3}{2}\left ( 1+\frac{7}{3x} \right )=x+\frac{9}{x}+\frac{3}{2}\geq 6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}\)
UCT nào
Ta chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a}+a+1\ge\dfrac{3}{4}a+2\)
Thật vậy, ta có: \(\dfrac{1}{a}+a+1=\dfrac{3}{4}a+\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{a}+1\ge\dfrac{3}{4}a+2\sqrt{\dfrac{1}{4}a.\dfrac{1}{a}}+1=\dfrac{3}{4}a+2\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+a+1\right)^3\ge\left(\dfrac{3}{4}a+2\right)^3\)
Tương tự: \(\left(\dfrac{1}{b}+b+1\right)^3\ge\left(\dfrac{3}{4}b+2\right)^3\)
Cộng vế theo vế, áp dụng AM-GMta được:
\(P\ge\left(\dfrac{3}{4}a+2\right)^3+\left(\dfrac{3}{4}b+2\right)^3=\left(\dfrac{3}{4}a+2+\dfrac{3}{4}b+2\right)-3\left(\dfrac{3}{4}a+2\right)\left(\dfrac{3}{4}b+2\right)\left(\dfrac{3}{4}a+2+\dfrac{3}{4}b+2\right)\)
\(P\ge\left[\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)+4\right]^3-3.\dfrac{\left(\dfrac{3}{4}a+2+\dfrac{3}{4}b+2\right)^2}{4}.\left[\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)+4\right]=85,75\)
GTNN của P là 85,75 khi a=b=2