K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

12 tháng 10 2015

\(4-\sqrt{15}=\frac{1}{4+\sqrt{15}}\)

Đặt \(t=4+\sqrt{15}\)

Ta chứng minh \(t^n+\frac{1}{t^n}\in N\text{ (*) }\forall n\in N\text{*}.\)

\(+n=1:\text{ }t+\frac{1}{t}=4+\sqrt{15}+4-\sqrt{15}=8\in N\)

\(+n=2:\text{ }t^2+\frac{1}{t^2}=\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-2\in N\)

Giả sử (*) đúng với n = k-1 và n = k, tức là \(t^{k-1}+\frac{1}{t^{k-1}}\in N;\text{ }t^k+\frac{1}{t^k}\in N\)

Ta chứng minh (*) đúng với n = k+1.

Thật vậy, ta có: \(\left(t+\frac{1}{t}\right)\left(t^k+\frac{1}{t^k}\right)\in N\Rightarrow t^{k+1}+\frac{1}{t^{k+1}}+t^{k-1}+\frac{1}{t^{k-1}}\in N\)

\(\Rightarrow t^{k+1}+\frac{1}{t^{k+1}}\in N\text{ }\left(do\text{ }t^{k-1}+\frac{1}{t^{k-1}}\in N\right)\)

Vậy theo nguyên lý quy nạp, (*) đúng với mọi số tự nhiên n.

Làm tương tự như trên, ta cũng chứng minh được \(t^n+\frac{1}{t^n}\text{ }\vdots\text{ }2\text{ }\forall n\in N\text{*}\)

14 tháng 7 2017

Phải sửa đề là chia hết cho 8 nha,mk có thử lại rồi: \(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+4\right)-1\left(n+4\right)-n\left(n+1\right)+4\left(n+1\right)\)

\(=n^2+4n-n+4-n^2+n+4n+4\)

\(=\left(n^2-n^2\right)+\left(4n+4n\right)+\left(n-n\right)+\left(4+4\right)\)

\(=0+8n+0+8\)

\(=8n+8\)

\(=8\left(n+8\right)⋮8\rightarrowđpcm\)

17 tháng 7 2017

thế này mới đúng nè đầu bài đúng đó không sai đâu

(n-1)(n+4)-(n-4)(n+1)

=n(n+4)+(-1)(n+4)-((n(n+1)+(-4)(n+1)

\(=n^2+4n-n-4-\left(n^2+n-4n-4\right)\)

=\(=n^2+4n-n-4-n^2-n+4n+4\)

=\(=\left(n^2-n^2\right)+\left(4n+4n-n-n\right)+\left(-4+4\right)\)=6n chia hết cho 6 với mọi n thuộc Z

11 tháng 10 2021

\(c,=\left(31,8-21,8\right)^2=10^2=100\\ 12,\\ a,\left(n+2\right)^2-\left(n-2\right)^2\\ =\left(n+2-n+2\right)\left(n+2+n-2\right)\\ =4\cdot2n=8n⋮8\\ b,\left(n+7\right)^2-\left(n-5\right)^2\\ =\left(n+7-n+5\right)\left(n+7+n-5\right)\\ =12\left(2n+2\right)=24\left(n+1\right)⋮24\)

22 tháng 10 2021

tui chiuj

14 tháng 8 2019

\(b,n^2\left(n^4-1\right)\)

\(=n^2\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)\)

Ta có:\(n^2-1;n^2;n^2+1\) là 3 số nghuyên liên tiếp

\(\Rightarrow n^2\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)⋮60\)

\(\Rightarrowđpcm\)

=> 

5 tháng 7 2016

xem lại câu a nhé bạn

24 tháng 1 2022

\(n\left(n^2-1\right)\left(n^2+6\right)\\=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+10\right) \\ =n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n-2, n-1, n, n+1, n+2 là 5 số nguyên liến tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết 3, 1 số chia hết 5

Mà (2,3,5)=1\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3.5=30\)

Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liến tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết 3

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\Rightarrow10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3.10=30\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮30\)

Vậy ...

Sửa đề: Chứng minh \(\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)-\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}\right)=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)

Ta có: \(VT=\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)-\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}\right)\)

\(=\left(\sqrt{4+2\cdot2\cdot\sqrt{3}+3}+\sqrt{5-2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}+3}\right)-\left(\sqrt{5+2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}+3}-\sqrt{4-2\cdot2\cdot\sqrt{3}+3}\right)\)

\(=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\left|2+\sqrt{3}\right|+\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|-\left|\sqrt{5}+\sqrt{3}\right|+\left|2-\sqrt{3}\right|\)

\(=\left(2+\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)\)

\(=2+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}+2-\sqrt{3}\)

\(=4-2\sqrt{3}\)

\(=3-2\cdot\sqrt{3}\cdot1+1\)

\(=\left(\sqrt{3}-1\right)^2=VP\)(đpcm)

11 tháng 4 2021

Do 2 + 1 chia hết cho 3 nên theo bổ đề LTE ta có \(v_3\left(2^{3^n}+1\right)=v_3\left(2+1\right)+v_3\left(3^n\right)=n+1\).

Do đó \(2^{3^n}+1⋮3^{n+1}\) nhưng không chia hết cho \(3^{n+2}\).