Question

[lê thị ngọc bích]

Cho $\Delta ABC$ cân tại A (AB < BC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Gọi Q là trung điểm AC. Trên nửa mặt phẳng bờ là BC chứa điểm D vẽ Bx // AC cắt DQ tại O. Trên Bx lấy điểm P sao cho OB=OP, gọi H là giao điểm của PQ và BC. C/minh:

a, Tứ giác BQPD, BQCP là hình bình hành

b, H là trung điểm BC

c, Ba điểm D; P; C thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Xét tg AQD có 

BO//AQ; BA=BD => OD=OQ (1) (Trong tg đường thẳng // với 1 cạnh và đi qua trung điểm của 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) 

=> BO là đường trung bình của tg AQD \(\Rightarrow OB=\frac{AQ}{2}\Rightarrow2.OB=AQ\Rightarrow BP=AQ=CQ.\) (2)

Mà OB=OP (3)

Từ (1) và (3) => BQPD là hbh (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Mà BP//CQ (4)

Từ (2) và 94) => BQCP là hbh (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau từng đôi 1 thì tứ giác đó là hbh)

b/

Do BQCP là hbh => HB=HC (Trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => H là trung điểm BC

c/

Do BQPD là hbh => DP//BQ (trong hình bình hành các cặp cạnh đối // và bằng nhau)

Do BQCP là hbh => CP//BQ (trong hình bình hành các cặp cạnh đối // và bằng nhau)

=> D; P; C thẳng hàng vì từ điểm P chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng //BQ