Question

[Minh Triều]

Tìm x để \(Q=\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\) có giá trị nguyên (x>0 và x khác 1)

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Chia cả tử và mẫu cho \(\sqrt{x}\) ta được: 

\(Q\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1}\). Để Q(x) nguyên <=> 2 chia hết cho \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\)=> \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\) \(\in\) Ư(2) = {-2;-1;1;2}

Lại có: \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}-1=1\) nên \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\)= 1 hoặc \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\) = 2

+) Nếu \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\) = 1 => \(x-2\sqrt{x}+1=0\) <=> \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\) <=> x = 1 (Loại vì x khác 1)

+) Nếu \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\) = 2 => \(x-3\sqrt{x}+1=0\) 

\(\Delta\) = 5 => \(\sqrt{x}=\frac{3+\sqrt{5}}{2};\sqrt{x}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) > 0 

=> \(x=\frac{14+6\sqrt{5}}{4};x=\frac{14-6\sqrt{5}}{4}\) (Chọn)

Vậy.......