Question

[nguyễn thị thu thủy]

tìm dư của đa thức f(x)cho đa thức q(x)

f(x)=1+x+x\(^{19}\)+x\(^{^{ }199}\)+x\(^{1995}\)

q(x)=1-x\(^{^{ }2}\)

Answer 1

[Hung nguyen]

Ta có:

\(f\left(x\right)=1+x+x^{19}+x^{199}+x^{1995}\)

\(=\left(x^{1995}-x\right)+\left(x^{199}-x\right)+\left(x^{19}-x\right)+4x+1\)

\(=-x\left[1-\left(x^2\right)^{997}\right]-x\left[1-\left(x^2\right)^{99}\right]-x\left[1-\left(x^2\right)^9\right]+4x+1\)

\(=-x.\left(1-x^2\right).A\left(x\right)-x.\left(1-x^2\right).B\left(x\right)-x.\left(1-x^2\right).C\left(x\right)+4x+1\)

Vậy ta có số dư của \(f\left(\right)\) cho \(q\left(x\right)\) là \(4x+1\)

Answer 2

[Khôi Bùi]

Vì đa thức chia cho bậc là \(2\)

nên số dư có dạng : \(ax+b\)

Gọi thương của phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(Q\left(x\right)\) là : \(P\left(x\right)\)

Ta có : \(f\left(x\right)=P\left(x\right).Q\left(x\right)+ax+b\)

\(=P\left(x\right).\left(1-x^2\right)+ax+b\)

\(=P\left(x\right)\left(1-x\right)\left(1+x\right)+ax+b\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=a+b\\f\left(-1\right)=-a+b\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(f\left(x\right)=1+x+x^{19}+x^{199}+x^{1995}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=5\\f\left(-1\right)=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\-a+b=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b-a+b=5-3\)

\(\Rightarrow2b=2\)

\(\Rightarrow b=1\)

\(\Rightarrow a=4\)

\(\Rightarrow\) Đa thức dư là : \(4x+1\)