Cho:
\(x=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc};y=\dfrac{a^2-\left(b-c\right)^2}{\left(b+c\right)^2-a^2}\)
Tính giá trị P = x + y + xy
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 3 2019
Lời giải:
Xét tử :
\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}=\frac{a^2}{a^2+bc+(-ab-ac)}+\frac{b^2}{b^2+ac+(-ab-bc)}+\frac{c^2}{c^2+ab+(-bc-ac)}\)
\(=\frac{a^2}{a(a-b)-c(a-b)}+\frac{b^2}{b(b-c)-a(b-c)}+\frac{c^2}{c(c-a)-b(c-a)}\)
\(=\frac{a^2}{(a-c)(a-b)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}\)
\(=\frac{a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(=\frac{(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)}{(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)}=1\)
Xét mẫu (tương tự bên tử)
\(\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ac}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab}=\frac{bc}{(a-c)(a-b)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}\)
\(=\frac{bc(c-b)+ac(a-c)+ab(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(=\frac{(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)}{(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)}=1\)
Do đó:
\(A=\frac{1}{1}=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 8 2021
\(\Leftrightarrow\dfrac{2+3\left(2a+b+2\sqrt{2bc}\right)}{2a+b+2\sqrt{2bc}}\ge\dfrac{16}{\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3}\)
\(\Leftrightarrow3+\dfrac{2}{2a+b+2\sqrt{2bc}}\ge\dfrac{16}{\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3}\)
Do \(\dfrac{2}{2a+b+2\sqrt{2bc}}\ge\dfrac{2}{2a+b+b+2c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
Và \(2b^2+2\left(a+c\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(3+\dfrac{1}{a+b+c}\ge\dfrac{16}{a+b+c+3}\)
Thật vậy, ta có:
\(3+\dfrac{1}{a+b+c}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{a+b+c}\ge\dfrac{16}{1+1+1+a+b+c}=\dfrac{16}{a+b+c+3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\dfrac{b}{2}=c=\dfrac{1}{4}\)
LN
20 tháng 12 2019
cho mình hỏi bạn biết làm chưa nếu rồi thì giúp mình được không ạ mình ko biết làm
23 tháng 4 2018
Câu a :
Theo BĐT cauchy schwar ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)\ge9\)
Câu b : Sửa lại đề nha :
Theo BĐT cauchy schwar ta có :
\(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Vì \(a+b+c\le\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)
19 tháng 6 2017
Bài 2 :
Ta có : \(4p(p-a)\)\(=2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a+b+c}{2}-a\right)\)
=\(2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{b+c-a}{2}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\)
\(=ab+ac-a^2+b^2+bc-ab+bc+c^2-ac\)
\(=2bc+b^2+c^2-a^2\left(dpcm\right)\)
Vậy :
DH
19 tháng 6 2017
Bai 2:
Ta có:
\(VP=4p\left(p-a\right)=2p.2p-2a.2p\) (1)
Thay \(a+b+c=2p\) vào (1) ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2-2a.\left(a+b+c\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2a^2-2ab-2ac\)
\(=-a^2+b^2+c^2+2bc=VT\)
Vậy \(2bc+b^2+c^2-a^2=4p\left(p-a\right)\)
Chúc bạn học tốt!!!
PN
5 tháng 6 2018
Xét biểu thức \(x+y+xy+1=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
Từ giả thiết suy ra \(x+1=\dfrac{\left(b+c\right)^2-a^2}{2bc};y+1=\dfrac{4bc}{\left(b+c\right)^2-a^2}\)
Do đó \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=2\Rightarrow xy+x+y+1=2\Rightarrow xy+x+y=1\)
5 tháng 6 2018
A = x + y + xy
A = x( y + 1) + y
A = \(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\left(\dfrac{a^2-b^2+2bc-c^2}{\left(b+c\right)^2-a^2}+1\right)+\dfrac{a^2-\left(b-c\right)^2}{\left(b+c\right)^2-a^2}\)
A = \(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\dfrac{4bc}{\left(b+c\right)^2-a^2}+\dfrac{a^2-\left(b-c\right)^2}{\left(b+c\right)^2-a^2}\)
A= \(\dfrac{2\left(b^2+c^2-a^2\right)+a^2-b^2+2bc-c^2}{\left(b+c\right)^2-a^2}\)
A = \(\dfrac{b^2+2bc+c^2-a^2}{\left(b+c\right)^2-a^2}=\dfrac{\left(b+c\right)^2-a^2}{\left(b+c\right)^2-a^2}=1\)
Với điều kiện để x,y tồn tại:
Đặt t = b2 + c2 - a2 và k = 2bc
\(\Rightarrow x=\dfrac{t}{k}\) và \(y=\dfrac{k-t}{k+t}\)
P = \(\dfrac{t}{k}+\dfrac{k-t}{k+t}+\dfrac{t\left(k-t\right)}{k\left(k+t\right)}\) ( Quy đồng mẫu số và thu gọn )
\(\Rightarrow\) P = 1