a^3/(b+c)+b^3/(c+a)+c^3/(a+b) >= 3/2 với a,b,c>0 và ab+bc+ca>=3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
M
0
22 tháng 4 2016
Mình học lớp 7 nên chỉ làm được phần b, thôi
b, * Nếu x=1 thì:
1+1=2
* Nếu x=2 thì:
2+ 1/2 >2
* Nếu x>2
=> x + 1/x > 2 ( vì 1/x là số dương )
Vậy x + 1/x >=2 (x>0)
22 tháng 4 2016
Phần A mình tìm được ở trang này nè http://olm.vn/hoi-dap/question/162099.html
LQ
2
PN
24 tháng 3 2016
Dễ dàng chứng minh được với \(a,b>0:\)
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^3}{b}+b^2\ge a\left(a+b\right)\) \(\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị theo bđt trên, ta có:
\(\frac{b^3}{c}+c^2\ge b\left(b+c\right)\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{c^3}{a}+a^2\ge c\left(c+a\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)=ab+bc+ca+\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vì \(a,b,c>0\) nên \(a^2+b^2+c^2\ne0\)
Do đó, trừ cả hai vế của bđt trên cho \(a^2+b^2+c^2\) ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh, tức là:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c\)
31 tháng 3 2016
a3/b+b3/c+c3/a=a4/ab+b4/bc+c4/ca>=(a2+b2+c2)2/ab+bc+ac>=(ab+bc+ca)2/ab+bc+ca=ab+bc+ca
dấu đẳng thức xảy ra<=>x=y=z
HP
1
11 tháng 5 2016
Áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
a^3/b +a^3/b +b^2 \(\ge\)3.a^2
\(\Rightarrow\)2a^3/b +b^2>=3a^2
Tương tự : +2b^3/c +c^2 \(\ge\)3.b^2 (1)
+2c^3/a +a^2 \(\ge\)3.c^2 (2)
Ta cộng (1) và (2) được :
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) \(\ge\)3.(a^2+b^2+c^2)
\(\Rightarrow\)a^3/b+b^3/c+c^3/a \(\ge\)a^2+b^2+c^2
Mặt khác : a^2+b^2+c^2 \(\ge\)ab+bc+ca
Nên : a^3/b+b^3/c+c^3/a \(\ge\)ab+bc+ca
Vậy đpcm
HT
4
24 tháng 3 2016
a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2
=>2a^3/b +b^2>=3a^2
tương tự
2b^3/c +c^2 >=3.b^2
2c^3/a +a^2 >=3.c^2
cộng lại ta được
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2
mặt khác
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
nên
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca
dấu = xảy ra khi a=b=c
NT
1
T
29 tháng 7 2019
#)Giải :
Áp dụng BĐT Cauchy :
\(\left(ab+c\right)\left(bc+a\right)\le\left(\frac{ab+c+bc+a}{2}\right)^2=\frac{\left(b+1\right)^2\left(c+a\right)^2}{4}\)
Tương tự với các cặp còn lại, ta được :
\(\left(bc+a\right)\left(ca+b\right)\le\frac{\left(c+1\right)^2\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\left(ab+c\right)\left(ca+b\right)\le\frac{\left(a+1\right)^2\left(b+c\right)^2}{4}\)
Nhân theo vế :
\(\left[\left(ab+c\right)\left(ca+b\right)\left(bc+a\right)\right]^2\le\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\frac{\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right]^2}{64}\)
Mà : \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le\left(\frac{a+1+b+1+c+1}{3}\right)^3=8\)
Do đó \(\left[\left(ab+c\right)\left(ac+b\right)\left(bc+a\right)\right]^2\le\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2.\frac{8^2}{64}\)
Từ đó suy ra \(\left(ab+c\right)\left(ca+b\right)\left(bc+a\right)\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\Rightarrowđpcm\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM:
$\text{VT}=\sum \frac{a^4}{a(b+c)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a(b+c)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)}$
$\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{2(ab+bc+ac)}=\frac{ab+bc+ac}{2}\geq \frac{3}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$