Cho n \(\in\) N , chứng minh rằng :
a, A = \(n^3+3n^2-n-3\) \(⋮\) 48 voi n \(⋮̸\) 2
b, B = \(n^{12}-n^8-n^4+1\) \(⋮\) 512 voi n\(⋮̸\) 2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 9 2019
b. Câu hỏi của Hàn Vũ Nhi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 6
1/
$A=n^3+3n^2-n-3=n^2(n+3)-(n+3)=(n^2-1)(n+3)$
$=(n-1)(n+1)(n+3)$
Do $n$ lẻ nên đặt $n=2k+1$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:
$A=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1+3)=2k(2k+2)(2k+4)$
$=8k(k+1)(k+2)$
Vì $k,k+1, k+2$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong đó có ít nhất 1 số chẵn, 1 số chia hết cho 3.
$\Rightarrow k(k+1)(k+2)\vdots 2, k(k+1)(k+2)\vdots 3$
$\Rightarrow k(k+1)(k+2)\vdots 6$ (do $(2,3)=1$)
$\Rightarrow A\vdots (8.6)$ hay $A\vdots 48$.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 6
2/
$B=n^{12}-n^8-n^4+1=(n^{12}-n^8)-(n^4-1)$
$=n^8(n^4-1)-(n^4-1)=(n^8-1)(n^4-1)$
$=(n^4-1)(n^4+1)(n^4-1)$
Đặt $n=2k+1$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:
$(n^4-1)(n^4-1)=[(n-1)(n+1)(n^2+1)]^2$
$=[2k(2k+2)(4k^2+4k+2)]^2=[8k(k+1)(2k^2+2k+1)]^2$
Vì $k,k+1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp nên $k(k+1)\vdots 2$
$\Rightarrow 8k(k+1)\vdots 16$
$\Rightarrow (n^4-1)(n^4-1)=[8k(k+1)(2k^2+2k+1)]^2\vdots 16^2=256$
Mà $n^4+1\vdots 2$ do $n$ lẻ.
$\Rightarrow (n^4-1)(n^4-1)(n^4+1)\vdots (2.256)$
Hay $B\vdots 512$
TT
1
18 tháng 9 2019
b. Câu hỏi của Hàn Vũ Nhi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
9 tháng 11 2015
a) Xét n2+4n+3= n2+n+3n+3= n(n+1) + 3(n+1)= (n+1)(n+3)
Mà n là số nguyên lẻ nên n chia cho 2 dư 1 hay n= 2k+1( k thuộc Z)
do đó n2+4n+3= (n+1)(n+3)= (2k+1+1)(2k+1+3)= (2k+2)(2k+4)
= 2(k+1)2(k+2)= 4(k+1)(k+2)
Mà (k+1)(k+2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.
Vậy n2+4n+3= (n+1)(n+3)= 4(k+1)(k+2) chia hết cho 4; chia hết cho 2
=>n2+4n+3 chia hết cho 4.2=8 ( đpcm)
VV
6 tháng 8 2016
a) vì n lẻ nên n có dạng 2k+1 vậy n^2+4n+3=4k^2+1+8k+4+3
=4k^2+8+8k NX:8+8n chia hết cho 8 nên 4k^2 chia hết cho 8
vì 2k+1 lẻ nên k là số chẳn vậy k chia 8 dư 0;2;4;6 TH dư 0 dễ
nếu k chia 8 dư 2 thì 4k chia hết cho 8; nếu k chia 8 dư 4 thì k^2 chia hết cho 8
nếu k chia 8 dư 6 thì 4k^2 chia hết cho 8. bạn tự nhân lên sẽ rõ lí do
SX
Chứng minh rằng
a, (n + 3)^2 - (n - 1)^2 chia hết cho 8
b, n^3 +3n^2 - 3 - n chia hết cho 48 ( n lẻ )
2
PN
16 tháng 11 2015
a. Ta có:
\(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)=4\left(2n+2\right)=8n+8=8\left(n+1\right)\)chia hết cho \(8\)
b. Đặt \(M=n^3+3n^2-3-n\), ta có:
\(M=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì \(n\) là một số lẻ nên
\(\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho \(8\) (vì là tích của hai số chẵn liên tiếp)
và \(n+3\) là số chẵn nên chia hết cho \(2\)
Do đó: \(M\)chia hết cho \(8.2=16\) \(\left(\text{*}\right)\)
Mặt khác: \(M=n^3+3n^2-3-n=n\left(n^2-1\right)+3\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+3\left(n^2-1\right)\)
Xét trường hợp:
+) \(n=3k\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho \(3\) \(\Rightarrow M\) chia hết cho \(3\)
+) \(n=3k+1\Rightarrow\left(n-1\right)\) chia hết cho \(3\) \(\Rightarrow M\) chia hết cho \(3\)
+) \(n=3k+2\Rightarrow\left(n+1\right)\) chia hết cho \(3\) \(\Rightarrow M\) chia hết cho \(3\)
nên \(M\) chia hết cho \(3\) \(\left(\text{**}\right)\)
Lại có: \(\left(16;3\right)=1\) \(\left(\text{***}\right)\)
Từ \(\left(\text{*}\right)\) , \(\left(\text{**}\right)\) , \(\left(\text{***}\right)\) suy ra \(M\) chia hết \(48\) với \(n\) lẻ
S
0
8 tháng 8 2019
a) Ta có: \(n^2+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)
Mà n lẻ \(\Leftrightarrow n=2k+1\)( \(k\in Z\) )
\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)\left(n+3\right)=\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)
\(=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)
\(=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Vì \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮2\)
\(\Rightarrow4\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮4\cdot2=8\)( đpcm )
b) \(n^3+3n^2-n-3\)
\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)
\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì n lẻ nên \(n=2p+1\) ( \(q\in Z\) )
Khi đó : \(\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(2p+1+3\right)\left(2q+1-1\right)\left(2q+1+1\right)\)
\(=\left(2q+4\right)\cdot2q\cdot\left(2q+2\right)\)
\(=8q\left(q+1\right)\left(q+2\right)\)
Vì \(q\left(q+1\right)\left(q+2\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(\left\{{}\begin{matrix}q\left(q+1\right)\left(q+2\right)⋮3\\q\left(q+1\right)\left(q+2\right)⋮2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow q\left(q+1\right)\left(q+2\right)⋮3\cdot2=6\)
\(\Rightarrow8q\left(q+1\right)\left(q+2\right)⋮8\cdot6=48\)( đpcm )
S
8 tháng 8 2019
\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\) n le => n=2k+1 \(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) k và k+1 là 2 stn liên tiếp =>\(k\left(k+1\right)⋮2\Rightarrow8k\left(k+1\right)⋮16\)
k;k+1;k+2 là 3 stn liên tiếp => \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3\Rightarrow n^3+3n^2-n-3⋮3.16=48\left(\left(3,16\right)=48\right)\)
a)A = n^3-3n^2-n+3 = n^2(n - 3) - (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1)
vì n lẻ nên:
(n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
(n - 3) là số chẵn chia hết cho 2
=> A chia hết cho 16(*)
mặt khác:
A = n^3-3n^2-n+3 = n^3 - n - 3(n^2 - 1) = n(n+1)(n-1) - 3(n^2-1)
xét các trường hợp:
n = 3k => n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 1 => (n -1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 (**)
(*) và (**) => A chia hết cho 3.16 = 48 (3,16 là 2 số nguyên tố cùng nhau).
b)A =n^12-n^8-n^4+1
=(n^8-1)(n^4-1)=(n^4+1)(n^4-1)^2
=(n^4+1)[(n^2+1)(n^2-1)]^2
=(n-1)^2*(n+1)^2*(n^2+1)^2*(n^4+1)
Ta có n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp nên có 1 số chỉ chia hết cho 2 ,1 số chia hết cho 4 nên (n-1)(n+1) chia hết cho 8 => (n-1)^2*(n+1)^2 chia hết cho 64
Mặt khác n lẻ nên n^2+1,n^4+1 cũng là số chẵn nên (n^2+1)^2*(n^4+1) chia hết cho 2^3=8
Do đó : A chia hết cho 64*8=512