Giải PT:
\(x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=\dfrac{3xy}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BK
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 7 2023
Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 1; y\geq 1$
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x\sqrt{y-1}=\sqrt{x^2(y-1)}=\sqrt{x(xy-x)}\leq \frac{x+(xy-x)}{2}=\frac{xy}{2}(1)$
$2y\sqrt{x-1}=2\sqrt{y^2(x-1)}=2\sqrt{y(xy-y)}\leq y+(xy-y)=xy(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}\leq \frac{xy}{2}+xy=\frac{3}{2}xy$
Dấu "=" xảy ra khi $x=xy-x$ và $y=xy-y$
$\Leftrightarrow 2x=xy=2y$
$\Leftrightarrow x=y=2$
XO
23 tháng 7 2023
ĐKXĐ : \(x\ge1;y\ge1\)
Ta có \(x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=\dfrac{3xy}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}=3xy\)
\(\Leftrightarrow\left(2x\sqrt{y-1}-xy\right)+\left(4y\sqrt{x-1}-2xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(2\sqrt{y-1}-y\right)+2y\left(2\sqrt{x-1}-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}\left(4y-4-y^2\right)+\dfrac{2y}{2\sqrt{x-1}+x}\left(4x-4-x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}\left(y-2\right)^2+\dfrac{2y}{2\sqrt{x-1}+x}\left(x-2\right)^2=0\) (1)
Dễ thấy \(\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}>0;\dfrac{y}{2\sqrt{x-1}+x}>0\forall x;y\ge1\)
nên (1) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2\)
Vậy x = y = 2 là nghiệm phương trình
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 8 2021
\(x^3+y^3+3xy=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-1-3xy\left(x+y\right)+3xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left[\left(x+y\right)^2+x+y+1\right]-3xy\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-xy+x+y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2\right]=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x=y=-1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(x=y=-1\) thế vào pt dưới kiểm tra ko thỏa mãn
TH2: \(y=1-x\) thế vào pt dưới:
\(\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+12\right)}=\dfrac{27}{x+3}\) (ĐKXĐ: \(-12\le x\le4;x\ne-3\))
- Với \(x< -3\) pt vô nghiệm, với \(x>-3\)
Đặt \(x+3=t>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(t+9\right)\left(7-t\right)}=\dfrac{27}{t}\Leftrightarrow64-\left(t+1\right)^2=\dfrac{27^2}{t^2}\)
\(\Leftrightarrow64=\dfrac{27^2}{t^2}+\left(t+1\right)^2=\dfrac{25^2}{t^2}+t^2+\dfrac{104}{t^2}+t+t+1\ge2\sqrt{\dfrac{25^2t^2}{t^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{104t^2}{t^2}}+1>65\) (vô lý)
Vậy hệ vô nghiệm
K
27 tháng 2 2018
(1) + rút y từ pt (2) thay vào pt (1), ta được pt bậc hai 1 ẩn x, dễ rồi, tìm x rồi suy ra y
(2) + (3)
+ pt nào có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung (thật ra chỉ có pt (2) của câu 2 là có nhân từ chung)
+ trong hệ, thấy biểu thức nào giống nhau thì đặt cho nó 1 ẩn phụ
VD hệ phương trình 3: đặt a= x+y ; b= căn (x+1)
+ khi đó ta nhận được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giải hpt đó rồi suy ra x và y
16 tháng 6 2018
a) VT bạn bình phương rồi B.C.S sẽ được VT<=2
VP=3x^2-12x+12+2=3(x-2)^2+1>=2
Dấu = xảy ra khi x=2
16 tháng 6 2018
\(\text{Đk: }1,5\le x\le2,5\)
Áp dụng bđt cauchy ta có:
\(\text{VT }\Leftrightarrow\frac{2x-3+1+1-2x+1}{2}=2\)
Mà: \(\text{VP}=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)
\(\text{ĐT}\Leftrightarrow x=2\)
\(\Rightarrow x=2\)
ĐK:\(x\ge 1;y\ge 1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}\)
\(\le x\cdot\dfrac{y-1+1}{2}+2y\dfrac{x-1+1}{2}\)
\(=\dfrac{xy}{2}+\dfrac{2xy}{2}=\dfrac{3xy}{2}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y=2\)
,chắc khômg