CMR: nếu a^3 + b^3 + c^4 = 3abc
Thì a+b+c= 0 hoặc a=b=c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SH
1
LH
20 tháng 8 2017
Đề sai: a=b=-c
a^3+b^3+c^3=3abc
=> (a+b)^3-3ab(a+b)-3abc+c^3=0
=>[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)=0
=>(a+b+c).[(a+b)^2+(a+b).c+c^2]-3ab(a+b+c)=0
=>(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc)=0
TH1: a+b+c=0
TH2: a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc=0
=> 2a^2+2b^2+2c^2-2ab+2ac+2bc=0
=> (a-b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2=0
=>a=b=-c
Vậy: a+b+c=0 hoặc a=b=-c thì a^3+b^3+c^3=3abc
29 tháng 6 2015
Ta có : a+b/b+c = c+d/d+a
=> (a+b)/(c+d)= (b+c)/(d+a)
=> (a+b)/(c+d)+1=(b+c)/(d+a)+1
hay: (a+b+c+d)/(c+d)=(b+c+d+a)/(d+a)
- Nếu a+b+c+d khác 0 thì : c+d=d+a => c=a
- Nếu a+b+c+d = 0 (điều phải chứng minh)
LT
2
B
12 tháng 7 2019
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3+3abc=0\)
\(\Rightarrow[\left(a+b\right)^3+c^3]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc-3ab\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(1\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) => a = b = c (vì a ; b ; c là các số dương)
Giải (2) ta có:
\(2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge\forall a,b\)
\(\left(a-c\right)^2\ge\forall a,c\)
\(\left(b-c\right)^2\ge\forall b,c\)
\(\Rightarrow\)Ta có: \(a-b=a-c=b-c\Rightarrow a=b=c\)
28 tháng 6 2021
`(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
`VT>=0`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`
28 tháng 6 2021
`a^3+b^3+c^3=3abc`
`<=>a^3+b^3+c^3-3abc=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3abc-3ab(a+b)=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`**a+b+c=0`
`**a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>a=b=c`
NT
2
NT
11 tháng 2 2016
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
=> a = (y + z - x) / 2 ; b = (x + z - y) / 2 ; c = (x + y - z) / 2
=> P = a/b+c + b/c+a + c/a+b = (y + z - x) / 2x + (x + z - y) / 2y + (x + y - z) / 2z
= 1/2. (y/x + z/x - 1 + x/y + z/y - 1 + x/z + y/z - 1) = 1/2. (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y - 3)
Áp dụng BĐT A/B + B/A ≥ 0 hoặc Cô-si cũng được
=> P ≥ 1/2. (2 + 2 + 2 - 3) = 3/2 (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> b+c = c+a = a+b <=> a = b = c
NT
11 tháng 2 2016
P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
P + 3 = 1+ a/(b+c) + 1+ b/(c+a) + 1+ c/(a+b)
P + 3 = (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a)
P + 3 = (a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] (*)
ad bđt cô si cho 3 số:
2(a+b+c) = (a+b) + (b+c) + (c+a) ≥ 3.³√(a+b)(b+c)(c+a)
1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≥ 3.³√1/(a+b)(b+c)(c+a)
nhân lại vế theo vế 2 bđt: 2(a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] ≥ 9
=> P + 3 ≥ 9/2 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c
- - -
cách khác: P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
M = b/(b+c) + c/(c+a) + a/(a+b)
N = c/(b+c) + a/(c+a) + b/(a+b)
Thấy: M + N = 3
P + M = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) ≥ 3 (cô si cho 3 số)
P + N = (a+c)/(b+c) + (b+a)/(c+a) + (c+b)/(a+b) ≥ 3 (cô si)
=> 2P + M + N ≥ 6 => 2P + 3 ≥ 6 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; đẳng thức khi a = b = c
--------------
b) ad bđt Bunhia: 1² = [2.(2x) + 1.y]² ≤ (2²+1²)(4x²+y²) => 4x² + y² ≥ 1/5 (đpcm)
dấu "=" khi 2x/2 = y/1 và 4x+y = 1 <=> x = y = 1/5
- - -
Có thể không cần Bunhia, ad bđt a² + b² ≥ 2ab (*)
(*) quá hiển nhiên từ (a-b)² ≥ 0
x² + 1/25 ≥ 2x/5 <=> 4x² ≥ 8x/5 - 4/25 (1*)
y² + 1/25 ≥ 2y/5 <=> y² ≥ 2y/5 - 1/25 (2*)
lấy (1*)+(2*) => 4x²+y² ≥ 8x/5+2y/5 - 4/25 - 1/25 = 2(4x+y)/5 - 5/25 = 1/5 (đpcm)
dấu "=" khi x = y = 1/5
CS
1
15 tháng 12 2016
1) Có: \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-3abc=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
2)Có: \(a+b-c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3abc=c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-c^3=-3abc\)
17 tháng 12 2018
a) Ta có:
\(5^2=25\equiv-1\left(mod13\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5^{2004}=\left(5^2\right)^{1002}\equiv\left(-1\right)^{1002}\left(mod13\right)\equiv1\left(mod13\right)\\5^{2002}=\left(5^2\right)^{1001}\equiv\left(-1\right)^{1001}\left(mod13\right)\equiv-1\left(mod13\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5^{2005}=5^{2004}.5\equiv1.5\left(mod13\right)\equiv5\left(mod13\right)\\5^{2003}=5^{2002}.5\equiv\left(-1\right).5\left(mod13\right)\equiv-5\left(mod13\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow5^{2005}+5^{2003}\equiv5+\left(-5\right)\left(mod13\right)\equiv0\left(mod13\right)\)
Vậy...
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{matrix}\right.\)
+) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrowđpcm\)
đề sai. Là a^3+b^3+c^3=3abc