Question

[An Nguyễn Thiện]

1: Tìm GTNN: P= \(\left(3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(3+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(3+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\). Trong đó a,b,c>0 thỏa mãn a+b \(\le\dfrac{3}{2}\)

2: Tìm cặp số nguyên x,y sao cho \(x^x+y^2+y=2x+1\)(không có j thêm)

3: a)Cho f(x)= \(x^4+ax^3+bx^2+cx+d\) biết f(1)=10; f(2)= 20; f(3)= 30. Tính M= \(\dfrac{f\left(12\right)-f\left(-8\right)}{10}+25\)

b) Tìm số có 3 cs chia hết cho 9 sao cho thương của phép chia ấy bằng tổng các bp của các chữ số ấy

@phynit, @Akai Haruma, @Ace Legona giúp mk gấp

Answer 1

[Lightning Farron]

Bài 1: Sửa \(a+b+c\le\dfrac{3}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT Holder ta có:

\(VT=\left(3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(3+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(3+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)

\(\ge\left(3+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\ge\left(3+2+2\right)^3=343\)

Khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 1: Một cách thuần túy Am-Gm

Biến đổi:

\(P=\frac{(3ab+a+b)(3bc+b+c)(3ac+a+c)}{(abc)^2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(3ab+a+b=ab+ab+ab+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}\geq 7\sqrt[7]{\frac{(ab)^3(a+b)^4}{4^4}}\)

Tương tự với các biểu thức còn lại và nhân theo vế:

\(P\geq \frac{343\sqrt[7]{\frac{(abc)^6(a+b)^4(b+c)^4(c+a)^4}{4^{12}}}}{(abc)^2}\)

Mặt khác: \((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\) (AM-GM)

\(\Rightarrow P\geq \frac{343\sqrt[7]{\frac{(abc)^{10}}{4096}}}{(abc)^2}=343\sqrt[7]{\frac{1}{4096(abc)^4}}\)

AM-GM: \(\frac{3}{2}\geq a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}\)

Do đó mà \(P\geq 343\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)