Chứng minh rằng:
a)\(n^4+3n^3-n^2-3n\) chia hết cho 6, với n là số nguyên.
b) \(\left(2n-1\right)^3-2n+1\) chia hết cho 24, với n là số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
25 tháng 9 2017
Từ đề bài ta có A= 3n+1 (32 + 1) + 2n+1 (2 +1) = 3n .3.2.5 + 2n .2.3
=> ĐPCM;
CM
3 tháng 10 2019
A = 3 n + 3 + 3 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 1 = 3 n . 27 + 3 + 2 n + 1 . 4 + 2 = 3 n .30 + 2 n .6 = 6. 3 n .5 + 2 n ⋮ 6
16 tháng 8 2015
Ta có \(n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2)\) là tích ba số nguyên liên tiếp. Trong hai số liên tiếp luôn có một chia hết cho 2, trong ba số liên tiếp luôn có một chia hết cho 3. Vậy tích chia hết cho 6.
Ta có \((n^2+n-1)^2-1=(n^2+n-2)(n^2+n)=(n-1)(n+2)n(n+1)=(n-1)n(n+1)(n+2)\) là tích bốn số nguyên liên tiếp.
Trong ba số liên tiếp luôn có một chia hết cho 3. Vậy tích chia hết cho 3. Mặt khác trong bốn số liên tiếp phải có hai số chẵn liên tiếp. Hai số chẵn liên tiếp phải có một số chia hết cho 4. Vậy tích sẽ chia hết cho 8. Từ hai điều đó suy ra tích chia hết 3x8=24.
PN
2
4 tháng 4 2015
Ta có 2n3 + 3n2 + n = n(n + 1)(2n + 1)
Vì n và n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên n(n + 1) chia hết cho 2 nên n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 2 (1)
Vậy để 2n3 + 3n2 + n = n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3
Thật vậy
Ta có TH1: n = 3k + 1 (k thuộc Z)
=> (3k + 1)(3k + 2)(6k + 3) chia hết cho 3
TH2: n = 3k + 2 (k thuộc Z)
=> (3k + 2)(3k + 3)(6k + 5) chia hết cho 3
=> n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2n3 + 3n2 + n = n(n + 1)(2n + 1) chia hết 2.3 = 6 với mọi số nguyên n
2 tháng 1 2017
bạn àm theo cách đòng dư thức á. Nếu bạn không biết làm thì nhắn xuống dưới mình giải dùm
VN
1
B1
13 tháng 9 2017
1) Đặt A = n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)
Nếu n chia hết cho 5 ta dễ thấy đpcm
Nếu n : 5 dư 1 => n = 5k + 1
=> A = n.(5k + 1 - 1)(n + 1)(n^2 + 1) = n.5k.(n + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 5
Nếu n : 5 dư 2 => n = 5k + 2
=> A = n(n - 1)(n + 1)[(5k + 2)^2 + 1] = n(n - 1)(n + 1)(25k^2 + 20k + 5)
= 5n(n - 1)(n + 1)(5k^2 + 4k + 1) chia hết cho 5
Nếu n : 5 dư 3 => n = 5k + 3
=>A = n(n - 1)(n + 1)(25k^2 + 30k + 10) = 5n(n - 1)(n + 1)(5k^2 + 6k + 2) chia hết cho 5
Nếu n : 5 dư 4 => n = 5k + 4
=> A = n(n - 1)(5k + 5)(n^2 + 1) = 5n(n - 1)(k + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 5
Vậy trong tất cả trường hợp n^5 - n luôn chia hết cho 6
2) Đặt B = n^3 - 13n = n^3 - n -12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n
Ta có : Trong 3 số nguyên liên tiếp tồn tại ít nhất 1 số chẵn và tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 nên tích của 3 số đó chia hết cho 2 và chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
=> n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 6 mà 12n chia hết cho 6
=> n^3 - n chia hết cho 6
3) n^3 + 23n = n^3 - n + 24n = n(n - 1)(n + 1) + 24n
Tương tự câu 2 : n(n - 1)(n + 1) và 24n chia hết cho 6
=> n^3 + 23n chia hết cho 6
4)Đặt A = n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)[2(n - 1) + 3]
= 2n(n + 1)(n - 1) + 3n(n + 1)
n(n + 1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
2n(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2
=> A chia hết cho 2
n(n + 1)(n - 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3
3n(n + 1) chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3
Mà (2 ; 3) = 1 (nguyên tố cùng nhau)
=> A chia hết cho 6
5) Đặt A = 3n^4 - 14n^3 + 21n^2 - 10n
Chứng minh bằng quy nạp
Với n =1 => A = 0 chia hết cho 24
Giả sử A chia hết 24 đúng với n = k
Nghĩa là :A(k) = 3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k chia hết cho 24
Ta phải chứng minh :
A chia hết cho 24 đúng với n = k + 1
Nghĩa là :
A(k + 1) = 3(k + 1)^4 - 14(k + 1)^3 + 21(k + 1)^2 - 10(k + 1)
Khai triển ta được :
A = (3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k) + (12k^3 - 24k^2 + 12k)
Ta phải chứng minh : 12k^3 - 24k^2 + 12k chia hết 24
12k^3 - 24k^2 + 12k = 12k(k^2 - 2k + 1)
= 12k(k - 1)^2 = 12k(k - 1)(k - 1)
12 chia hết 12
k(k - 1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
=> 12k^3 - 24k^2 - 2k + 1 chia hết cho 24
Mà 3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k chia hết cho 24 (giả thiết quy nạp)
=> A(k + 1) chia hết 24
Theo nguyên lý quy nạp => A chia hết cho 24 (đpcm)
6) n = 2k + 1 với k thuộc Z
A = n^2 + 4n + 3 = (2k + 1)^2 + 4(2k + 1) + 3
= 4k^2 + 12k + 8
= 4(k^2 + 3k + 2)
= 4(k + 2k + k + 2)
= 4(k + 1)(k + 2)
4 chia hết cho 4
(k +1)(k + 2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
=> n^2 + 4n + 3 chia hết cho 4.2 = 8 với n lẻ
7) n = 2k + 1
Đặt A = n^3 + 3n^2 - n - 3
= (2k + 1)^3 + 3(2k + 1)^2 - (2k + 1) - 3
= 8k^3 + 24k^2 + 16k
= 8k(k^2 + 3k + 2)
= 8k(k^2 + k + 2k + 2)
= 8k(k + 1)(k + 2)
8 chia hết cho 8
k(k + 1)(k + 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 => chia hết cho 6
=> A chia hết cho 8.6 = 48 với n lẻ
Ta có:\(n^4+3n^3-n^2-3n=n^3.\left(n+3\right)-n.\left(n+3\right)=\left(n+3\right).\left(n^3-n\right)=\left(n+3\right).n.\left(n^2-1\right)=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n+3\right)⋮6\)b)Ta có:\(\left(2n-1\right)^3-2n+1=\left(2n-1\right).\left(\left(2n-1\right)^2-1\right)=\left(2n-1\right).\left(2n-1-1\right).\left(2n-1+1\right)=2n.\left(2n-1\right).\left(2n-2\right)⋮24\)