cho a,b dương. c/m rằng 1/a+b nhỏ hơn hoặc bằng 1/4.(1/a+1/b)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 2 2017
Giải:
Ta có: \(A=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=\left(1-\frac{1}{a+1}\right)+\left(1-\frac{1}{b+1}\right)+\left(1-\frac{1}{c+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=3-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{a+b+c+3}=\frac{9}{4}\)
Suy ra \(A\leq 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
KK
25 tháng 2 2017
Xét: \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{a+b+a+c}\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\\\frac{b}{a+2b+c}=\frac{b}{a+b+b+c}\le\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\\\frac{c}{a+b+2c}=\frac{c}{a+c+b+c}\le\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a}{4\left(a+b\right)}+\frac{a}{4\left(a+c\right)}+\frac{b}{4\left(a+b\right)}+\frac{b}{4\left(b+c\right)}+\frac{c}{4\left(a+c\right)}+\frac{c}{4\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\left[\frac{a}{4\left(a+b\right)}+\frac{b}{4\left(a+b\right)}\right]+\left[\frac{a}{4\left(a+c\right)}+\frac{c}{4\left(a+c\right)}\right]+\left[\frac{b}{4\left(b+c\right)}+\frac{c}{4\left(b+c\right)}\right]\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a+b}{4\left(a+b\right)}+\frac{a+c}{4\left(a+c\right)}+\frac{b+c}{4\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\le\frac{3}{4}\) ( đpcm )
C6. Cho các số thực dương thoả mãn: ab+1 nhỏ hơn hoặc bằng b Chứng minh rằng : ( a + (1/a^2) ) + ( b^2 + (1/b) ) lớn hơn hoặc bằng 9
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2022
\(ab+1\le b\Rightarrow a+\dfrac{1}{b}\le1\)
Đặt \(\left(a;\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow x+y\le1\)
Gọi vế trái của BĐT cần chứng minh là P:
\(P=x+\dfrac{1}{x^2}+y+\dfrac{1}{y^2}=\left(\dfrac{1}{x^2}+8x+8x\right)+\left(\dfrac{1}{y^2}+8y+8y\right)-15\left(x+y\right)\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{64x^2}{x^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{64y^2}{y^2}}-15.1=9\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) hay \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
ND
21 tháng 4 2018
a.
Xét hiệu:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-4\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1-4\)
\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\)
\(=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)
Suy ra:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
ND
21 tháng 4 2018
b.
Đặt:
\(A=\)\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)
\(=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+3\) (1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\) (2)
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2\) (3)
\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2\) (4)
Từ (1)(2)(3)(4) cộng vế theo vế, ta được:
\(A\ge3+2+2+2=9\)
=> BĐT luôn đúng
=> \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
TT
1
LH
24 tháng 3 2020
Với \(a,b>0\)
Ta có theo BĐT Cô-si:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\), và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot\frac{2}{\sqrt{ab}}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{a+b}\) hay \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
(Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\))
Vậy \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với \(a,b>0\).
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
M
20 tháng 8 2023
Để chứng minh rằng biểu thức abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho a, b, c ta có: (a + b + c)/3 >= (abc)^(1/3)
Vì a + b + c = 3, ta có: 3/3 >= (abc)^(1/3) 1 >= (abc)^(1/3) 1^3 >= abc 1 >= abc
Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho (1 + a^2), (1 + b^2), (1 + c^2) ta có: (1 + a^2 + 1 + b^2 + 1 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3)
Vì a^2 + b^2 + c^2 >= 3 (bằng với bất đẳng thức Tchebyshev), ta có: (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 1 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) 1^3 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) 1 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2)
Từ hai bất đẳng thức trên, ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1 * 1 = 1
Do đó, khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, ta có abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1, và vì 1 nhỏ hơn hoặc bằng 8, nên ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.
Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng biểu thức abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3.
ML
27 tháng 6 2015
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\)
\(1+b^2\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)
Do đó: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\)
Mặt khác ta có: \(3\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\le1\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Do đó; \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\ge3\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\\\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\ge\dfrac{1}{2\sqrt{16ab}}=\dfrac{1}{2.4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{8\sqrt{ab}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Chúc bạn học tốt!!!