Cho \(a=2^n+3^n\)
\(b=2^{n+1}+3^{n+1}\)
\(c=2^{n+2}+3^{n+2}\)
CM: a;b nguyên tố cùng nhau
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 10 2021
\(1,\)
\(a,\) Với \(n=1\Leftrightarrow5+2\cdot1+1=8⋮8\left(đúng\right)\)
Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\)
Với \(n=k+1\)
\(5^n+2\cdot3^{n-1}+1=5^{k+1}+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot5+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot2+2\cdot3^k+5^k\cdot3+1\\ =2\left(5^k+3^k\right)+5^k+2\cdot5^{k-1}+1+2\cdot3^{k-1}-2\cdot3^{k-1}\\ =2\left(5^k+3^k\right)+\left(5^k+2\cdot3^{k-1}+1\right)-2\left(3^{k-1}+5^{k-1}\right)\)
Vì \(5^k+3^k⋮\left(5+3\right)=8;5^{k-1}+3^{k-1}⋮\left(5+3\right)=8;5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\) nên \(5^{k+1}+2\cdot3^k+1⋮8\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
\(b,\) Với \(n=1\Leftrightarrow3^3+4^3=91⋮13\left(đúng\right)\)
Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13\)
Với \(n=k+1\)
\(3^{n+2}+4^{2n+1}=3^{k+3}+4^{2k+3}\\ =3^{k+2}\cdot3+16\cdot4^{2k+1}\\ =3^{k+2}\cdot3+3\cdot4^{2k+1}+13\cdot4^{2k+1}\\ =3\left(3^{k+2}+4^{2k+1}\right)+13\cdot4^{2k+1}\)
Vì \(3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13;13\cdot4^{2k+1}⋮13\) nên \(3^{k+3}+4^{2k+3}⋮13\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
7 tháng 10 2021
\(1,\)
\(c,C=6^{2n}+3^{n+2}+3^n\\ C=36^n+3^n\cdot9+3^n\\ C=\left(36^n-3^n\right)+\left(3^n\cdot9+2\cdot3^n\right)\\ C=\left(36^n-3^n\right)+3^n\cdot11\)
Vì \(36^n-3^n⋮\left(36-3\right)=33⋮11;3^n\cdot11⋮11\) nên \(C⋮11\)
\(d,D=1^n+2^n+5^n+8^n\)
Vì \(1^n+2^n+5^n⋮\left(1+2+5\right)=8;8^n⋮8\) nên \(D⋮8\)
13 tháng 7 2018
Bài 2 :
a) C = ( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )( n + 4 )
<=> C = [( n + 1 ).( n + 4 )].[( n + 2 ).( n + 3 )] + 1
<=> C = ( n2 + 5n + 4 ).( n2 + 5n + 6 ) + 1
Đặt t = n2 + 5n + 5
Suy ra : C = ( t - 1 ).( t + 1 ) + 1
=> C = t2 - 1 + 1
<=> C = t2 hay C = ( n2 + 5n + 5 )2
Vì n thuộc Z => n2 + 5n + 5 thuộc Z => C là số chính phương
( đpcm )
b) E = n2 + ( n + 1 )2 + n2 ( n + 1 )2
<=> E = n2 - 2n( n + 1 ) + ( n + 1 )2 + 2n( n + 1 ) + n2( n +1 )2
<=> E = [ n - ( n + 1 )]2 + 2n( n + 1 ) + [ n( n + 1 )]2
<=> E = ( n - n - 1 )2 + 2n( n + 1 ) + [ n( n + 1 )]2
<=> E = 12 + 2.1.n( n + 1 ) + [ n( n + 1 )]2
<=> E = [ n( n + 1 ) + 1 ]2
<=> E = ( n2 + n + 1 )2
Vì n thuộc Z => n2 + n + 1 thuộc Z => E là số chính phương
( đpcm )
AT
8 tháng 7 2017
\(=>\left(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{1}{c}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
Phân tích vế trái ta được ( hằng đẳng thức) :>
\(=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{2}{bc}+\left(\dfrac{1}{c}\right)^2\)
\(=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{1}{c^2}\)
\(=>\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
\(=>2.\left(\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}\right)=0\)
\(=>\dfrac{b}{abc}+\dfrac{c}{abc}+\dfrac{a}{abc}=0\)
\(=>a+b+c=0.abc=0\)
\(=>a+b=-c\)
\(=>-\left(a+b\right)=c\)
Thay vào ta có:
\(a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-\left(a+b\right)^3\)
\(=-3a^2b-3ab^2=3\left(-a^2b-ab^2\right)⋮3\)
CHÚC BẠN HỌC TỐT NHA....
21 tháng 10 2019
3. Câu hỏi của Hoàng Đức Thịnh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Lời giải:
Bạn nên thêm điều kiện \(n\in\mathbb{N}\)
Phản chứng, giả sử tồn tại \(p\in \mathbb{P}\) sao cho:
\(\left\{\begin{matrix} a=2^n+3^n\vdots p\\ b=2^{n+1}+3^{n+1}\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a=2^{n+1}+2.3^n\vdots p\\ b=2^{n+1}+3^{n+1}\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow 3^{n+1}-2.3^n\vdots p\)
\(\Leftrightarrow 3^n\vdots p\). Vì \(p\in\mathbb{P}\Rightarrow p=3\)
Thay vào, \(2^{n+1}+3^{n+1}\vdots 3\) . Với \(n+1\in \mathbb{N}^*\) thì \(3^{n+1}\) luôn chia hết cho $3$, do đó \(2^{n+1}\vdots 3\) (vô lý)
Vậy không tồn tại ước chung nào giữa $a,b$. Do đó $a,b$ nguyên tố cùng nhau.