CHO TAM GIÁC ABC. TRÊN CẠNH BC,CA,AB LẦN LƯỢT LẤY ĐIỂM D,E,F (KHÁC CÁC ĐỈNH CỦA TAM GIÁC) SAO CHO AD,BE,CF CẮT NHAU TẠI H.CMR:
a.AH/AD+BH/BE+CH/CF=2
b.AH/HD+BH/HE+CH/HF>=6
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(\frac{ID}{AD}+\frac{IE}{BE}+\frac{IF}{CF}\right)\left(\frac{AD}{ID}+\frac{BE}{IE}+\frac{CF}{IF}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{ID}{AD}}\sqrt{\frac{AD}{ID}}+\sqrt{\frac{IE}{BE}}\sqrt{\frac{BE}{IE}}+\sqrt{\frac{IF}{CF}}\sqrt{\frac{CF}{IF}}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{ID}+\frac{BE}{IE}+\frac{CF}{IF}\ge\left(1+1+1\right)^2\Leftrightarrow\frac{IA+ID}{ID}+\frac{IB+IE}{IE}+\frac{IC+IF}{IF}\ge9\)
\(\Rightarrow\frac{IA}{ID}+\frac{IB}{IE}+\frac{IC}{IF}\ge6\)
Bạn ko hiểu chỗ nào thì hỏi mình nhé!
ta có: \(\frac{IA}{ID}+\frac{IB}{IE}+\frac{IC}{IF}=\frac{AD-ID}{ID}+\frac{BE-IE}{IE}+\frac{FC-FI}{FI}\)
=\(\frac{AD}{ID}+\frac{BE}{IE}+\frac{FC}{FI}-3\)
(từ A và I kẻ 2 đường thẳngAH,IK vuông góc vs BC(H,KϵBC) →áp dụng hệ quả định lý tales :\(\frac{AD}{ID}=\frac{AH}{IK}\)mà AH và IK là 2 đường cao của 2 Δ có chung đáy là ΔABCvà ΔBIC→\(\frac{AH}{IK}=\frac{SABC}{SBIC}\) ;làm tương tự vs các cạnh còn lại ,ta có:\(\frac{BE}{IE}=\frac{SABC}{SAIC};\frac{FC}{FI}=\frac{SABC}{SAIB}\))(cái này làm ngoài nháp thôi ,típ tục nèo)
=\(\frac{SABC}{SBIC}+\frac{SABC}{SAIC}+\frac{SABC}{SAIB}-3\)
=\(\frac{SAIB+SAIC+SBIC}{SBIC}+\frac{SAIB+SAIC+SBIC}{SAIC}+\frac{SAIB+SAIC+SBIC}{SAIB}-3\)
=\(3+\frac{SAIB}{SBIC}+\frac{SBIC}{SAIB}+\frac{SAIB}{SAIC}+\frac{SAIC}{SAIB}+\frac{SAIC}{SBIC}+\frac{SBIC}{SAIC}-3\)
Áp dụng BĐT coosshi cho 2 số dương ,ta có:
\(\frac{SAIB}{SBIC}+\frac{SBIC}{SAIB}\ge2\sqrt{\frac{SAIB}{SBIC}.\frac{SBIC}{SAIB}=2}\)tương tự ta có:\(\frac{SAIB}{SAIC}+\frac{SAIC}{SAIB}\ge2;\frac{SAIC}{SBIC}+\frac{SBIC}{SAIC}\ge2\)
vậy \(\frac{IA}{ID}+\frac{IB}{IE}+\frac{IC}{FI}\ge3+2+2+2-3=6\left(đfcm\right)\)
Đây là 1 trường hợp của BĐT hình học quan trọng: BĐT Erdos-Mordell
Cách chứng minh bài này y hệt như cách người ta chứng minh BĐT nói trên.
Có khoảng gần 20 cách gì đó, em kiếm trên google thử coi, vì BĐT này quá quen thuộc rồi nên mình sẽ ko chứng minh lại ở đây.
Đặt SAHB = S1, SAHC = S2, SBHC = S3
a.
\(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{S_1}{S_{ABD}}=\dfrac{S_2}{S_{ACD}}=\dfrac{S_1+S_2}{S}\)
Tương tự:
\(\dfrac{BH}{BE}=\dfrac{S_1+S_3}{S};\dfrac{CH}{CF}=\dfrac{S_2+S_3}{S}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}=\dfrac{2\left(S_1+S_2+S_3\right)}{S}=\dfrac{2S}{S}=2\)
b.
\(\dfrac{AH}{HD}=\dfrac{S_1}{S_{BHD}}=\dfrac{S_2}{S_{CHD}}=\dfrac{S_1+S_2}{S_3}\)
Tương tự:
\(\dfrac{BH}{HE}=\dfrac{S_1+S_3}{S_2};\dfrac{CH}{HF}=\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{HD}+\dfrac{BH}{HE}+\dfrac{CH}{HF}=\dfrac{AD}{HD}+\dfrac{BE}{HE}+\dfrac{BF}{HF}-3\)
\(=\dfrac{S}{S_1}+\dfrac{S}{S_2}+\dfrac{S}{S_3}-3\ge\dfrac{9S}{S_1+S_2+S_3}-3=\dfrac{9S}{S}-3=6\)
Dấu "=" xảy ra khi H là trọng tâm tam giác ABC